Exercice sur le calcul du rang d’une application linéaire

/ Christian Nguembou Tagne

Dans cette publication, nous invitons à déterminer le rang d’une application linéaire entre deux espaces vectoriels de dimension finie. Rappelons qu’une application linéaire, entre deux espaces vectoriels de dimension finie ou infinie, est dite de rang fini, si son image est de dimension finie. Le cas échéant, la dimension de l’image de cette application linéaire est son rang.

En termes formels, étant donné des espaces vectoriels E et F sur un corps commutatif \mathbb{K}, une application linéaire U de E dans F est dite de rang fini, si l’image \mathrm{Im}(U) est de dimension finie. Le cas échéant, la dimension de \mathrm{Im}(U) est appelée rang de U et notée \mathrm{rang}(U).

Toute application linéaire, dont l’espace de départ est de dimension finie, est de rang fini ; et ce rang s’exprime au moyen de la dimension de son noyau et la dimension de l’espace de départ. Précisément :

Soient E et F des espaces vectoriels sur un corps commutatif \mathbb{K}. Si E est de dimension finie, alors toute application linéaire U de E dans F est de rang fini, et \mathrm{rang}(U)+\mathrm{dim}\,\mathrm{Ker}(U)=\mathrm{dim}\,E.

Cette dernière égalité est appelée théorème du rang ou formule de la dimension.

Exercice :

Soit \mathbb{K} un corps commutatif. Nous considérons les espaces vectoriels \mathbb{K}^{4} et \mathbb{K}^{6} munis de leurs bases canoniques, puis l’application linéaire U de \mathbb{K}^{4} dans \mathbb{K}^{6}, qui associe à tout vecteur (\xi_{1},\xi_{2},\xi_{3},\xi_{4}) le vecteur (\eta_{1},\eta_{2},\eta_{3},\eta_{4},\eta_{5},\eta_{6}) défini par

\begin{array}{l}\eta_{1}=\xi_{2}-\xi_{1}, \\[4pt] \eta_{2}=\xi_{3}-\xi_{1}, \\[4pt] \eta_{3}=\xi_{4}-\xi_{1}, \\[4pt]\eta_{4}=\xi_{3}-\xi_{2}, \\[4pt] \eta_{5}=\xi_{4}-\xi_{2}, \\[4pt] \eta_{6}=\xi_{4}-\xi_{3}.\end{array}

Déterminez le rang de l’application linéaire U.

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