La réponse habituelle est un haussement d'épaules : parce que le monde est ainsi fait. C'est une réponse de physicien, et elle ne dit rien du problème mathématique. Dans une géométrie construite sur des axiomes, le nombre trois n'est pas observé : il est déduit, et deux axiomes précis en répondent — l'un interdit de … Lire la suite de Pourquoi l’espace a-t-il exactement trois dimensions ?
Niveau Secondaire
Les accroissements finis, ou pourquoi le signe de la dérivée gouverne les variations
« La dérivée est positive, donc la fonction est croissante. » C'est la phrase la plus écrite de toutes les copies de terminale, et personne ne la démontre. Elle n'a pourtant rien d'évident : la dérivée ne renseigne que sur le comportement local, en un point, tandis que la croissance est une propriété globale, qui … Lire la suite de Les accroissements finis, ou pourquoi le signe de la dérivée gouverne les variations
Corrigé, et le théorème de Rolle
Trois obstacles à la dérivabilité, et un quatrième défaut qui n'en est pas un : la dernière fonction est bien dérivable partout, mais sa dérivée n'est continue nulle part au voisinage de l'origine. Le corrigé se termine sur le théorème qui met la dérivée au travail, et sur l'énumération de ce qu'il faut lui accorder … Lire la suite de Corrigé, et le théorème de Rolle
Exercice : quatre fonctions, quatre défauts de dérivabilité
Les quatre fonctions qui suivent sont toutes continues au point étudié. Trois d'entre elles n'y sont pourtant pas dérivables, chacune pour une raison qui lui est propre ; la quatrième l'est, et son défaut se cache un cran plus loin. La continuité ne peut donc rien expliquer de ce qui les sépare : c'est ailleurs … Lire la suite de Exercice : quatre fonctions, quatre défauts de dérivabilité
Dérivable entraîne continue, et la réciproque est fausse
L'implication se démontre en trois lignes et tout le monde l'admet. C'est la réciproque qui réserve la surprise, et elle est bien pire que ne le laisse croire le contre-exemple habituel : il existe des fonctions continues en tout point et dérivables en aucun. La courbe se trace d'un trait sans jamais admettre de tangente, … Lire la suite de Dérivable entraîne continue, et la réciproque est fausse
Le nombre dérivé est une limite, pas une pente
On enseigne que le nombre dérivé est la pente de la tangente, et l'on illustre par une sécante qui bascule jusqu'à se coucher sur la courbe. L'image est juste, et l'ordre est inversé. Personne n'a défini la tangente avant ce dessin ; c'est la dérivée qui la définit, et non l'inverse. Ce renversement n'est pas … Lire la suite de Le nombre dérivé est une limite, pas une pente
Corrigé, et le théorème des valeurs intermédiaires
Un seul des quatre défauts de continuité se répare, celui de la deuxième fonction. Les trois autres tiennent, et pour des raisons qu'il faut distinguer si l'on veut comprendre ce que la continuité exige. Ce corrigé se termine sur le théorème qui donne à cette notion tout son intérêt — et sur la propriété de … Lire la suite de Corrigé, et le théorème des valeurs intermédiaires
Vecteurs de l’espace : la définition scolaire et ce qu’elle cache
« Un vecteur est un segment orienté. » La phrase ouvre le chapitre dans presque tous les manuels, et elle est fausse dès la page suivante — celle où l'on écrit que deux segments orientés différents peuvent être le même vecteur. Deux constructions correctes existent pour réparer cela. Elles ne se ressemblent pas, elles ne … Lire la suite de Vecteurs de l’espace : la définition scolaire et ce qu’elle cache
Exercice : quatre fonctions, quatre défauts de continuité
« La fonction n'est pas continue en ce point. » Cette phrase seule ne dit pas tout : elle ne précise pas ce qui empêche la continuité. Or il y a plusieurs manières d'échouer, et savoir laquelle est à l'œuvre change ce que l'on peut réparer. Les quatre fonctions qui suivent échouent chacune à sa … Lire la suite de Exercice : quatre fonctions, quatre défauts de continuité
La continuité en un point : trois définitions pour une notion
« Une fonction est continue si l'on peut tracer sa courbe sans lever le crayon. » La phrase circule depuis le lycée jusqu'aux copies de licence, et elle ne définit rien : elle décrit un geste de la main, pas une propriété mathématique. Elle est du reste inutilisable dès que la courbe n'est pas traçable … Lire la suite de La continuité en un point : trois définitions pour une notion
