Les accroissements finis, ou pourquoi le signe de la dérivée gouverne les variations

/ Christian Nguembou Tagne

« La dérivée est positive, donc la fonction est croissante. » C’est la phrase la plus écrite de toutes les copies de terminale, et personne ne la démontre. Elle n’a pourtant rien d’évident : la dérivée ne renseigne que sur le comportement local, en un point, tandis que la croissance est une propriété globale, qui compare deux points éloignés. Le pont entre les deux porte un nom.

Cet article clôt la série Tout tient à la limite, ouverte le 26 août. Il s’appuie directement sur le théorème de Rolle, établi dans l’article précédent.

1. De Rolle aux accroissements finis

Théorème des accroissements finis. Soit f une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur \,]a,b[\,. Alors il existe un réel c de \,]a,b[\, tel que

\displaystyle f(b)-f(a)=f^{\prime}(c)\,(b-a).

Preuve. Notons \lambda=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} la pente de la corde, et posons

\displaystyle g(x)=f(x)-f(a)-\lambda\,(x-a).

Cette fonction est continue sur [a,b] et dérivable sur \,]a,b[\,, comme différence de fonctions qui le sont. On calcule g(a)=0 et g(b)=f(b)-f(a)-\lambda(b-a)=0. Le théorème de Rolle s’applique : il existe c dans \,]a,b[\, tel que g^{\prime}(c)=0, c’est-à-dire f^{\prime}(c)=\lambda. \quad\Box

Toute l’astuce tient dans le choix de g : on retranche à la fonction la corde qui joint ses extrémités, ce qui ramène le cas général au cas où les deux valeurs coïncident. Le théorème des accroissements finis n’est donc pas plus fort que celui de Rolle : c’est le même énoncé, vu dans un repère incliné.

La lecture géométrique est agréable : entre deux points d’une courbe assez régulière, il existe toujours un endroit où la tangente est parallèle à la corde. Mais l’énoncé ne dit pas où, ni combien de tels points existent — c’est encore un théorème d’existence, dans la ligne de toute la série.

2. Le résultat que tout le monde applique

Corollaire. Soit f une fonction continue sur un intervalle I et dérivable à l’intérieur de I. Si f^{\prime}\geq 0 en tout point intérieur, alors f est croissante sur I. Si f^{\prime}>0, elle est strictement croissante.

Preuve. Soient x et y deux points de I avec x<y. La fonction vérifie les hypothèses des accroissements finis sur [x,y], donc il existe c dans \,]x,y[\, tel que f(y)-f(x)=f^{\prime}(c)(y-x). Le facteur y-x est strictement positif et f^{\prime}(c) est positif ou nul : le produit l’est aussi, d’où f(x)\leq f(y). \quad\Box

Trois lignes, et le pont est fait. Une information ponctuelle — le signe de f^{\prime} en chaque point — devient une comparaison entre deux points quelconques. C’est exactement ce que le tableau de variations exploite, et il l’exploite sans jamais dire qu’il repose sur Rolle, donc sur les bornes atteintes, donc sur la complétude de \mathbb{R}.

3. Le mot « intervalle » n’est pas décoratif

L’énoncé exige que I soit un intervalle, et c’est l’hypothèse que les copies oublient. Considérons la fonction inverse, définie sur \mathbb{R}^{*} par f(x)=\dfrac{1}{x}. Sa dérivée vaut -\dfrac{1}{x^{2}}, strictement négative en tout point de son ensemble de définition. Devrait-on conclure qu’elle est décroissante sur \mathbb{R}^{*} ?

Non, et le contre-exemple tient en deux valeurs : f(-1)=-1 et f(1)=1. On a -1<1 et pourtant f(-1)<f(1). La fonction est décroissante sur \,]-\infty,0[\, et sur \,]0,+\infty[\,, mais pas sur leur réunion, qui n’est pas un intervalle.

La raison apparaît dans la démonstration. Pour appliquer les accroissements finis à [x,y], encore faut-il que ce segment soit contenu dans l’ensemble de définition. Avec x=-1 et y=1, le segment traverse 0, où la fonction n’existe pas. L’hypothèse « intervalle » est exactement ce qui garantit que ce segment ne sort jamais du domaine.

On rencontre la même subtilité avec le second corollaire classique : une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante. Sur \mathbb{R}^{*}, la fonction qui vaut 0 sur les négatifs et 1 sur les positifs a une dérivée nulle partout sans être constante. Deux morceaux, deux constantes.

4. Ce que la série aura montré

Quatorze articles, et une seule notion : la limite. Elle a défini la convergence d’une suite, puis la continuité d’une fonction, puis le nombre dérivé. Chacune de ces définitions a servi à son tour de fondation à la suivante, et le dernier théorème de la série — le signe de la dérivée gouverne les variations — repose, par la chaîne complète, sur la définition posée le 29 août avec deux lettres.

Un fait est revenu cinq fois, sous cinq déguisements : une suite de Cauchy qui ne converge pas dans \mathbb{Q}, une suite croissante majorée sans limite rationnelle, des intervalles emboîtés d’intersection vide, une fonction continue qui change de signe sans s’annuler, et une fonction continue sur un segment qui n’y atteint pas ses bornes. Cinq énoncés, une seule propriété : la complétude de \mathbb{R}. Le programme de terminale les enseigne tous les cinq et ne nomme jamais ce qui les tient.

Il y a une sixième apparition, hors de l’analyse, et c’est peut-être la plus frappante : deux cercles qui ne se coupent pas dans le plan rationnel, examinés le 19 août dans Ce qui manque à la première proposition d’Euclide. La géométrie et l’analyse butent sur le même trou, et le comblent par le même axiome.

Reste ce que la série n’a pas traité et qui découle directement de son dernier théorème : l’inégalité des accroissements finis, les développements limités, la formule de Taylor. Ils viendront.

Le théorème des accroissements finis et ses corollaires sur les variations relèvent des fonctions numériques d’une variable réelle, auxquelles sera consacré le Volume II du Discours formel sur les mathématiques pour le secondaire, en préparation. Les cinq apparitions de la complétude de ℝ que la série aura rencontrées se lisent, elles, au chapitre 3 du Volume I, et la sixième dans Du Point à l’Espace.

Votre commentaire

Ce site utilise Akismet pour réduire les indésirables. En savoir plus sur la façon dont les données de vos commentaires sont traitées.