« f est continue. » Trois mots justes, et pourtant une phrase qu’on ne peut pas écrire correctement : en français, elle devrait commencer par une majuscule, et F n’est pas f. Une autre copie conclut : « Le PGCD de 15 et de 28 vaut 1, 15 et 28 sont donc premiers entre eux. » Le lecteur pressé lit « vaut 1,15 » et s’arrête, perplexe. Dans les deux cas, les mathématiques sont justes. Ce qui cloche se trouve à la frontière entre la phrase et la formule, et chacune des deux fautes a sa règle.

Cet article est le troisième de la série Écrire les mathématiques, qui suit la section Rédaction des textes mathématiques : langage formel versus langage courant du chapitre Logique mathématique de Discours formel sur les mathématiques pour le secondaire, Volume I. Il prolonge l’article du 7 novembre, « Une démonstration se lit à voix haute », dont le test sert encore ici, et celui du 5 novembre, « Écrire les mathématiques, c’est parler deux langues à la fois », qui posait le cadre : une phrase française qui contient des formules doit respecter à la fois la grammaire de la langue et celle des formules.

1. Deux règles sans commentaire

Les deux fautes de l’accroche relèvent des cinquième et sixième conseils de la section. Les voici, avec les exemples qu’elle donne.

Ne pas commencer une phrase par un symbole. Ainsi, au lieu de « est continue. », écrire plutôt « La fonction est continue. »

Séparer les symboles dans des expressions formelles consécutives par des mots. Par exemple, au lieu d’écrire « Soit , . », écrire plutôt « Soit avec . » ou encore « Soit tel que . »

La section énonce ces règles et les illustre. Les raisons exposées dans la suite sont un ajout de cet article.

2. Pourquoi pas une majuscule ?

En mathématiques, la casse d’une lettre fait partie du symbole. Au lycée, la lettre désigne couramment une primitive de la fonction . En géométrie, est un point et un nombre. Dans un énoncé sur les ensembles, la lettre nomme un ensemble et la lettre l’un de ses éléments. Changer la casse, c’est changer d’objet.

Mettre une majuscule à « est continue », c’est donc écrire « est continue », qui parle d’une autre fonction. Garder la minuscule, c’est enfreindre une règle de la langue, alors que le premier conseil de la section demande de les respecter toutes. Aucune des deux issues n’est acceptable. La seule solution consiste à placer un mot devant le symbole : « La fonction est continue. »

Le mot ajouté n’est pas un remplissage. Il rappelle la nature de l’objet : « la fonction », « le point », « l’entier ». Le lecteur qui ouvre la page au milieu d’une démonstration sait aussitôt de quoi il est question, sans remonter à la ligne où la lettre a été introduite.

3. La frontière entre deux phrases

La majuscule a une seconde fonction : elle signale le début d’une phrase. Une phrase qui commence par un symbole perd ce repère. Quand la phrase précédente s’achève elle aussi sur une formule, les deux formules ne sont plus séparées que par un point. Voici un exemple construit pour l’occasion.

« … et l’on obtient . est alors égal à . »

L’œil voit d’abord « x = 2. y », et rien ne lui dit que le point termine une phrase plutôt qu’il ne relie deux facteurs, comme le fait parfois le point de multiplication. La réécriture rétablit la frontière : « … et l’on obtient . Le réel est alors égal à . »

Les chiffres tombent sous la même règle, et pour cette raison-là, puisqu’ils n’ont pas de majuscule. Le chapitre Logique mathématique les range en effet parmi les symboles.

Une constante est un symbole qui désigne un objet précis et déterminé.

L’ouvrage cite aussitôt les chiffres de zéro à neuf comme exemples de constantes. Une phrase comme « divise . » commence donc par un symbole. Elle devient « Le nombre divise . »

4. Quand la virgule énumère

Le sixième conseil traite le même problème à l’intérieur d’une phrase. Entre deux formules, la virgule a déjà un emploi : elle énumère. Dans « les points , et », chaque virgule annonce un objet de plus dans la liste. Le lecteur a pris cette habitude, et il l’applique partout.

Lue ainsi, la phrase « Soit , » introduit deux choses, l’objet et l’inégalité , de même que « Soient , deux points » introduit deux points. Or on n’introduit pas une inégalité par « soit » : on introduit des objets. Le lecteur doit comprendre seul que la seconde formule est une condition imposée à l’indice de la première. Les réécritures du livre le lui disent : « avec » ou « tel que » annoncent une condition, et la phrase se lit sans hésitation.

Avec des nombres, la virgule française a un emploi de plus : elle sépare la partie entière de la partie décimale. Revenons à la copie de l’accroche.

« Le PGCD de et de vaut , et sont donc premiers entre eux. »

La phrase est exacte, puisque et n’ont aucun facteur premier commun. Mais l’œil qui parcourt la ligne rencontre « 1, 15 », c’est-à-dire, pour un lecteur francophone, le nombre décimal un virgule quinze. Il faut revenir en arrière pour comprendre. Deux phrases règlent la question : « Le PGCD de et de vaut . Ces deux nombres sont donc premiers entre eux. » La seconde commence par un mot, et le chiffre a disparu de la frontière.

5. Le mot de liaison dit quelque chose

Reste la faute la plus répandue. On la rencontre dans beaucoup de copies : « Pour tout réel , . » Lue à voix haute, elle donne « pour tout réel x, x au carré supérieur ou égal à zéro », et la voix ne sait où placer la pause. Prononcée sans pause, « x, x au carré » sonne comme une liste de deux objets.

Deux mots suffisent : « Pour tout réel , on a . » On peut aussi se passer de formule : « Le carré d’un réel est positif ou nul. » Les mots qui séparent deux formules valent mieux qu’une ponctuation, parce qu’ils disent chacun quelque chose. Après « on a » vient une affirmation. Après « avec » ou « tel que » vient une condition. Après « et » vient un objet ou un fait de plus. Après « donc » vient une conséquence. La virgule, elle, ne disait rien, et laissait le lecteur choisir.

C’est peut-être le principal bénéfice de la règle. Pour choisir le mot, celui qui écrit doit savoir quel lien unit ses deux formules. S’il hésite entre « tel que » et « donc », c’est qu’il ignore si la seconde formule est une hypothèse ou une conclusion, et la règle le lui fait découvrir avant le correcteur.

6. Répéter sans lasser

Appliquée sans discernement, la première règle produirait une litanie : « La fonction est continue. La fonction est dérivable. La fonction est croissante. » Le quatrième conseil de la section, qui demande de varier la structure des phrases, l’interdit aussi. Or la règle n’exige pas de répéter « la fonction » en tête de chaque phrase. Elle exige seulement que le symbole ne soit pas le premier mot.

Un pronom fait souvent l’affaire, une subordonnée aussi : « Comme la fonction est continue sur , elle y est bornée et atteint ses bornes. Notons son maximum. » Aucune phrase ne commence par un symbole, et « la fonction » n’est écrit qu’une fois.

Les symboles que les élèves écrivent le plus volontiers au milieu d’une phrase, à la place d’un mot, sont ceux de la logique. La section leur consacre un conseil à part, et le plus coûteux de ces glissements, la flèche de l’implication écrite à la place de « donc », fait l’objet de l’article du 11 novembre. La règle de déduction que porte le mot « donc » a été décrite dans « Les règles de déduction : l’anatomie du mot “donc” ».

---

Cet article suit la section Rédaction des textes mathématiques : langage formel versus langage courant, au chapitre Logique mathématique de Discours formel sur les mathématiques pour le secondaire, Volume I. L’ouvrage reparaîtra en décembre 2026 sous le titre Discours formel sur les mathématiques : une passerelle entre le secondaire et le supérieur, avec son Volume II, chacun accompagné d’un fascicule de corrigés des exercices.