Sept des dix ensembles proposés sont dénombrables, trois ne le sont pas, et l'intuition se trompe précisément là où on l'attend : les polynômes entiers et les nombres algébriques, qui semblent innombrables, s'énumèrent sans peine ; les suites de zéros et de uns, qui semblent modestes, ne s'énumèrent pas. Le corrigé traite les dix cas, … Lire la suite de Corrigé, et l’hypothèse du continu
Niveau supérieur
Articles de niveau universitaire rédigés en français : algèbre, algèbre linéaire, analyse, topologie, logique et fondements.
Le théorème des trois perpendiculaires
C'est l'outil qui permet de calculer une distance dans l'espace sans poser un seul repère, et c'est aussi celui qui justifie l'apothème d'une pyramide, objet que le collège manipule sans jamais dire de quel droit. Son énoncé tient en une ligne, sa démonstration en trois, et il repose entièrement sur la distinction posée dans l'article … Lire la suite de Le théorème des trois perpendiculaires
Exercice : dénombrable ou non ?
Deux techniques, et deux seulement, ont été mises en place : construire une énumération pour prouver qu'un ensemble est dénombrable, et construire un objet manquant pour prouver qu'il ne l'est pas. Les dix ensembles qui suivent se répartissent entre les deux camps, et l'intérêt de l'exercice tient à ce que l'intuition se trompe au moins … Lire la suite de Exercice : dénombrable ou non ?
Perpendiculaire n’est pas orthogonal
Dans le plan, les deux mots sont interchangeables, et l'enseignement s'en accommode depuis toujours. Dans l'espace, ils cessent de désigner la même chose, et l'un des deux n'apparaît même pas dans l'ouvrage dont cette série est tirée. Ce n'est pas un oubli : la définition axiomatique de la perpendicularité contient une condition que l'autre notion … Lire la suite de Perpendiculaire n’est pas orthogonal
L’argument diagonal : ℝ n’est pas dénombrable
On a su énumérer les rationnels, qui sont pourtant partout denses sur la droite : entre deux d'entre eux il y en a toujours un troisième, et cela ne les a pas empêchés de tenir dans une suite. L'expérience suggère qu'avec assez d'astuce, on énumérerait aussi les réels. Cantor a montré en 1874 qu'il n'en … Lire la suite de L’argument diagonal : ℝ n’est pas dénombrable
Le produit scalaire : d’où vient la formule ?
Trois expressions circulent, données comme équivalentes : le produit des longueurs par le cosinus de l'angle, la somme des produits des coordonnées, et le produit d'une longueur par la mesure algébrique d'un projeté. Aucune des trois n'est présentée comme la définition, et chacune sert à démontrer les deux autres. Il y a là un cercle, … Lire la suite de Le produit scalaire : d’où vient la formule ?
Dénombrable : ℕ, ℤ et ℚ ont le même nombre d’éléments
L'ensemble des entiers naturels est contenu dans l'ensemble des entiers relatifs, qui lui-même est contenu dans l'ensemble des rationnels, et chaque inclusion est stricte : il manque les négatifs au premier, les fractions au second. L'intuition en conclut qu'il y a de plus en plus d'éléments. Elle se trompe trois fois. Ces trois ensembles ont … Lire la suite de Dénombrable : ℕ, ℤ et ℚ ont le même nombre d’éléments
Corrigé, et les relations d’ordre
Deux des cinq relations proposées sont des équivalences, une est un ordre, et les deux qui échouent le font pour des raisons opposées : l'une perd la transitivité, l'autre la symétrie. Le corrigé les traite dans l'ordre, puis démonte la démonstration fausse — dont l'erreur tient à quatre mots — et termine sur la notion … Lire la suite de Corrigé, et les relations d’ordre
Exercice : cinq relations, lesquelles sont des équivalences ?
Vérifier qu'une relation est une équivalence passe pour une formalité : on récite trois propriétés, on coche trois cases. L'exercice qui suit propose cinq relations dont deux seulement sont des équivalences, une est une relation d'ordre, et deux échouent chacune sur une propriété différente. Il se termine sur une démonstration fausse que l'on rencontre régulièrement … Lire la suite de Exercice : cinq relations, lesquelles sont des équivalences ?
Relations d’équivalence et passage au quotient
Une fraction n'est pas un nombre écrit avec une barre : trois sixièmes et un demi sont le même objet, et personne n'explique jamais pourquoi on a le droit de les confondre. Un vecteur n'est pas une flèche : deux flèches de même direction, même sens et même longueur sont le même vecteur, et là … Lire la suite de Relations d’équivalence et passage au quotient
