On rencontre, en fin de lycée ou en première année, des énoncés de ce genre : « Soit f l'application qui, au point de coordonnées (x, y), associe le point de coordonnées (2x + y + 2, x + 2y + 2). Montrer que f est une transformation affine. » La réponse attendue tient en … Lire la suite de D’où viennent x′ = ax + cy + s, et pourquoi ad – bc ne doit pas être nul
Niveau supérieur
Articles de niveau universitaire rédigés en français : algèbre, algèbre linéaire, analyse, topologie, logique et fondements.
Les chiffres en base p savent compter les facteurs premiers
L'article du 29 octobre comptait les facteurs 7 de cinquante factorielle par la formule de Legendre, puis en admettait une seconde, d'allure plus étrange : écrire cinquante en base sept, ce qui donne 101, additionner les chiffres, ce qui donne 2, et calculer (50 − 2)/6 = 8. Cette formule est démontrée ici. Elle n'est … Lire la suite de Les chiffres en base p savent compter les facteurs premiers
Ce qu’on sait, ce qu’on croit, ce qu’on ignore
Un élève de terminale peut croire que les nombres premiers forment un chapitre clos : on les définit, on montre qu'il y en a une infinité, on décompose les entiers en facteurs premiers, et l'on passe à autre chose. Les treize articles de cette série ont suivi ce chemin et l'ont prolongé, toujours sur des … Lire la suite de Ce qu’on sait, ce qu’on croit, ce qu’on ignore
Une infinité de premiers congrus à 3 modulo 4
Rangez les nombres premiers impairs selon leur reste dans la division par quatre. D'un côté trois, sept, onze, dix-neuf, vingt-trois, trente et un, quarante-trois, quarante-sept ; de l'autre cinq, treize, dix-sept, vingt-neuf, trente-sept, quarante et un. Les deux colonnes s'allongent-elles indéfiniment ? Le théorème de Dirichlet répond oui, et on le cite volontiers comme un … Lire la suite de Une infinité de premiers congrus à 3 modulo 4
Une base peut ne pas être constante : la base des factorielles
Deux cent mille secondes font deux jours, sept heures, trente-trois minutes et vingt secondes. Personne ne s'étonne de ce calcul, et pourtant il écrit un nombre dans un système dont la base change d'un rang à l'autre : soixante, puis soixante, puis vingt-quatre. On peut pousser l'idée jusqu'au bout et prendre pour poids successifs 1, … Lire la suite de Une base peut ne pas être constante : la base des factorielles
Corrigé : pourquoi la raison vaut 210
Deux cent dix est le produit de deux, trois, cinq et sept. Que la seule progression de dix nombres premiers inférieurs à trois mille ait précisément cette raison n'a rien d'une coïncidence de calcul : c'est une nécessité, et elle tient en un seul argument, appliqué successivement à chacun des petits nombres premiers. Une fois … Lire la suite de Corrigé : pourquoi la raison vaut 210
Exercice : des nombres premiers en progression arithmétique
Cinq, onze, dix-sept, vingt-trois, vingt-neuf : cinq nombres premiers, chacun obtenu en ajoutant six au précédent. Le suivant, trente-cinq, ne l'est plus. Cent quatre-vingt-dix-neuf, quatre cent neuf, six cent dix-neuf, et ainsi de suite en ajoutant deux cent dix : cette fois, dix nombres premiers d'affilée. Les écarts six et deux cent dix ne doivent … Lire la suite de Exercice : des nombres premiers en progression arithmétique
Fermat s’est trompé, et son erreur a produit un théorème
Trois, cinq, dix-sept, deux cent cinquante-sept, soixante-cinq mille cinq cent trente-sept. Chacun s'obtient en élevant deux à une puissance de deux, puis en ajoutant un, et chacun est premier. Fermat, dans sa correspondance à partir de 1640, affirme qu'il en va de même de tous les nombres ainsi construits. Le suivant a dix chiffres, quatre … Lire la suite de Fermat s’est trompé, et son erreur a produit un théorème
Euclide, Euler, et les nombres parfaits pairs
Six est la somme de ses diviseurs autres que lui-même : un, deux et trois. Vingt-huit aussi : un, deux, quatre, sept et quatorze. Viennent ensuite quatre cent quatre-vingt-seize et huit mille cent vingt-huit, et la liste s'arrête là dans la plupart des ouvrages, comme une collection de raretés. Écrivez pourtant ces quatre nombres autrement … Lire la suite de Euclide, Euler, et les nombres parfaits pairs
Le théorème fondamental de l’arithmétique, et son seul point difficile
On décompose trois cent soixante en facteurs premiers dès le collège : deux au cube, fois trois au carré, fois cinq. On divise par deux tant qu'on peut, puis par trois, puis par cinq, et l'on obtient une écriture. Personne ne demande si un autre chemin — commencer par cinq, ou couper d'abord trois cent … Lire la suite de Le théorème fondamental de l’arithmétique, et son seul point difficile
