Le théorème des trois perpendiculaires

C’est l’outil qui permet de calculer une distance dans l’espace sans poser un seul repère, et c’est aussi celui qui justifie l’apothème d’une pyramide, objet que le collège manipule sans jamais dire de quel droit. Son énoncé tient en une ligne, sa démonstration en trois, et il repose entièrement sur la distinction posée dans l’article précédent.

L’article poursuit la série Du point à l’espace. Il suppose acquises la différence entre perpendiculaire et orthogonal et la caractérisation de l’orthogonalité par le produit scalaire, toutes deux établies dans les articles précédents.

1. Ce qu’il faut avoir construit d’abord

Le théorème parle du projeté orthogonal d’un point sur un plan. Or l’annexe A de Du Point à l’Espace ne construit que les projections parallèles : pour un plan $\alpha$ et une droite $\mathcal{D}$ sécante à $\alpha$ , le projeté d’un point $M$ est l’intersection avec $\alpha$ de la parallèle à $\mathcal{D}$ menée par $M$ . Aucune orthogonalité n’intervient dans cette définition, et c’est voulu : la projection est une notion de parallélisme, pas de métrique.

La projection orthogonale en est le cas particulier où la direction de projection est celle des droites orthogonales à $\alpha$ . Pour que ce cas particulier ait un sens, il faut le lemme suivant, qu’on admettra ici.

Lemme. Par tout point de l’espace passe une unique droite orthogonale à un plan donné.

Pour un point $P$ extérieur à $\alpha$ , cette droite coupe $\alpha$ en un point unique, noté $H$ et appelé projeté orthogonal de $P$ sur $\alpha$ .

2. L’énoncé

Théorème des trois perpendiculaires. Soient $\alpha$ un plan, $P$ un point n’appartenant pas à $\alpha$ , et $H$ le projeté orthogonal de $P$ sur $\alpha$ . Soient $\mathcal{D}$ une droite contenue dans $\alpha$ et $K$ un point de $\mathcal{D}$ . Alors

$(PK)\perp\mathcal{D}\quad\Longleftrightarrow\quad(HK)\perp\mathcal{D}.$

Les trois perpendiculaires du nom sont $(PH)$ , perpendiculaire au plan, puis $(HK)$ et $(PK)$ , perpendiculaires à la droite. Le théorème dit que les deux dernières vont toujours ensemble : dès que la première est en place, vérifier l’une revient à vérifier l’autre. On suppose $H\notin\mathcal{D}$ ; sinon $H=K$ et l’énoncé est vide.

3. Deux démonstrations, et ce que chacune révèle

Par le produit scalaire. Soit $\overrightarrow{w}$ un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ . La droite $(PH)$ est orthogonale à $\alpha$ , donc à toutes les droites de $\alpha$ , donc à $\mathcal{D}$ : ainsi $\overrightarrow{PH}\cdot\overrightarrow{w}=0$ . La relation de Chasles donne $\overrightarrow{PK}=\overrightarrow{PH}+\overrightarrow{HK}$ , d’où, par bilinéarité,

$\displaystyle \overrightarrow{PK}\cdot\overrightarrow{w}=\overrightarrow{PH}\cdot\overrightarrow{w}+\overrightarrow{HK}\cdot\overrightarrow{w}=\overrightarrow{HK}\cdot\overrightarrow{w}.$

L’un des deux produits est nul si et seulement si l’autre l’est. Les deux droites passant par $K$ , orthogonalité et perpendicularité coïncident, et l’équivalence est démontrée — dans les deux sens à la fois, ce qu’une démonstration synthétique ne donne pas gratuitement.

Sans vecteurs. Supposons $(HK)\perp\mathcal{D}$ . La droite $\mathcal{D}$ est orthogonale à $(PH)$ , puisque cette dernière est orthogonale au plan qui contient $\mathcal{D}$ ; elle est orthogonale à $(HK)$ par hypothèse. Or $(PH)$ et $(HK)$ sont deux droites sécantes en $H$ du plan $(PHK)$ . Le critère établi dans l’article précédent s’applique : $\mathcal{D}$ est orthogonale au plan $(PHK)$ , donc à toutes ses droites, donc à $(PK)$ . Comme elles se coupent en $K$ , elles sont perpendiculaires.

La réciproque s’obtient en échangeant les rôles de $(PK)$ et $(HK)$ : si $\mathcal{D}\perp(PK)$ , alors $\mathcal{D}$ est orthogonale à $(PK)$ et à $(PH)$ , deux droites sécantes en $P$ du même plan $(PHK)$ , d’où la même conclusion. La symétrie de l’argument est le véritable contenu du théorème : tout se passe dans le plan $(PHK)$ , et la droite $\mathcal{D}$ lui est orthogonale entièrement, ou pas du tout.

4. Ce qu’il fait gagner

Pyramide régulière SABCD : H est le centre du carré de base, K le milieu de [AB] ; (HK) est perpendiculaire à (AB), donc (SK) l'est aussi. — La pyramide régulière *SABCD* : la hauteur SH tombe au centre du carré, et HK = a/2 est perpendiculaire à (AB). Le théorème donne alors (SK) ⊥ (AB) : SK est l’apothème.

Prenons une pyramide régulière à base carrée $SABCD$ , de côté $a$ et de hauteur $h$ , et cherchons la distance du sommet $S$ à l’arête de base $(AB)$ . Le pied de la hauteur est le centre $H$ du carré. Soit $K$ le milieu de $[AB]$ : dans le plan de base, la droite $(HK)$ est la médiatrice de $[AB]$ , donc perpendiculaire à $(AB)$ . Le théorème donne immédiatement $(SK)\perp(AB)$ , donc

$\displaystyle d\bigl(S,(AB)\bigr)=SK=\sqrt{SH^{2}+HK^{2}}=\sqrt{h^{2}+\frac{a^{2}}{4}}.$

Aucun repère, aucune coordonnée, deux lignes de calcul. La longueur $SK$ est ce que le collège appelle l’apothème de la pyramide, et qu’il emploie dans la formule de l’aire latérale sans jamais justifier qu’elle est bien la hauteur du triangle $SAB$ . C’est précisément ce que le théorème établit.

Le même mécanisme sert à définir l’angle dièdre de deux demi-plans : on choisit un point sur l’arête et, dans chaque demi-plan, la perpendiculaire à l’arête. Le théorème garantit que l’angle obtenu ne dépend pas du point choisi — sans quoi la notion serait vide.

Deux demi-plans d'arête Δ : en un point M de l'arête, la perpendiculaire à Δ menée dans chaque demi-plan ; les deux demi-droites forment l'angle plan du dièdre. — L’angle dièdre des demi-plans α et β d’arête Δ : en un point M de Δ, on mène dans chaque demi-plan la perpendiculaire à Δ. Un autre point M′ donnerait un angle congruent — c’est ce qui rend la définition licite.

5. Le piège

L’énoncé exige que $H$ soit le projeté orthogonal de $P$ . Prenez pour $H$ un point quelconque de $\alpha$ et l’équivalence tombe : le calcul du paragraphe 3 laisse alors subsister le terme $\overrightarrow{PH}\cdot\overrightarrow{w}$ , qui n’a aucune raison d’être nul. C’est l’erreur la plus fréquente dans les copies, et elle est indolore à l’œil : la figure reste plausible, seul le raisonnement s’effondre.

On retiendra la forme la plus sûre de l’énoncé : une droite du plan est perpendiculaire à l’oblique si et seulement si elle est perpendiculaire à sa projection — à condition que le mot projection y soit pris au sens orthogonal.

Les projections, définies à partir du seul parallélisme, occupent la section 2 de l’annexe A de Du Point à l’Espace. La projection orthogonale et le théorème des trois perpendiculaires n’y figurent pas ; ils sont construits ici sur cette base.

Formalis Mathematica

Rigueur et formalisme au cœur de l’apprentissage et de l’enseignement des mathématiques

Le théorème des trois perpendiculaires

1. Ce qu’il faut avoir construit d’abord

2. L’énoncé

3. Deux démonstrations, et ce que chacune révèle

4. Ce qu’il fait gagner

5. Le piège

Laisser un commentaire Annuler la réponse.

1. Ce qu’il faut avoir construit d’abord

2. L’énoncé

3. Deux démonstrations, et ce que chacune révèle

4. Ce qu’il fait gagner

5. Le piège

Partagez :

Similaire

Laisser un commentaire Annuler la réponse.