Trois expressions circulent, données comme équivalentes : le produit des longueurs par le cosinus de l’angle, la somme des produits des coordonnées, et le produit d’une longueur par la mesure algébrique d’un projeté. Aucune des trois n’est présentée comme la définition, et chacune sert à démontrer les deux autres. Il y a là un cercle, et il faut le rompre.

L’article poursuit la série Du point à l’espace. Il fait suite à l’article sur les vecteurs, et il s’appuie sur la construction de la distance menée au chapitre 3 de l’ouvrage éponyme, sans coordonnées et sans angles.

1. Le cercle, écrit noir sur blanc

Soit et deux vecteurs de l’espace. Les trois formules sont :

1. , où est l’angle des deux vecteurs ;
2. , dans un repère orthonormé ;
3. , où est le projeté orthogonal de l’extrémité de sur la droite portant .

Chacune présuppose quelque chose. La première suppose qu’on sache mesurer un angle par un nombre réel, et que le cosinus soit déjà défini. La deuxième suppose l’existence d’un repère orthonormé, donc la perpendicularité et l’égalité des longueurs des trois vecteurs de base. La troisième suppose la projection orthogonale, donc encore la perpendicularité, plus une orientation pour donner un signe à .

Aucune des trois n’est donc première. Pire : la formule 1 sert habituellement à démontrer que le produit scalaire est nul lorsque les vecteurs sont orthogonaux, alors que la formule 2 n’a de sens qu’après qu’on ait su construire une base orthogonale. On démontre l’orthogonalité avec un outil qui n’existe qu’une fois l’orthogonalité disponible.

2. Ce dont on dispose vraiment

Il faut regarder ce qui est disponible avant tout produit scalaire, dans une construction axiomatique honnête. La réponse, dans Du Point à l’Espace, tient en un mot : la distance, et rien d’autre.

Sa construction mérite d’être rappelée, parce qu’elle n’utilise ni coordonnées ni angles. On se donne un segment unité . À chaque couple de points on associe l’ensemble de rationnels

où désigne la classe de congruence du segment et où la comparaison est celle, purement axiomatique, héritée du troisième groupe d’axiomes de Hilbert. Cet ensemble est vide si et seulement si ; sinon, c’est une coupure de rationnels, et le réel qu’elle définit est la distance . Le nombre sort d’une comparaison de segments, pas d’une règle graduée.

3. La définition qui ne présuppose rien

Définition. Pour trois points , , de l’espace, on pose

Trois longueurs, une soustraction, une division par deux. Pas d’angle, pas de repère, pas de projection. C’est l’identité dite de polarisation, et l’élève la connaît déjà sous un autre nom : c’est le théorème d’Al-Kashi, lu à l’envers. Là où le cours en fait une conséquence du produit scalaire, on en fait ici sa définition.

Deux propriétés tombent aussitôt. En prenant : , donc le carré scalaire est le carré de la longueur, et l’on peut poser . Et la symétrie se lit sur la formule, qui est symétrique en et après translation à la même origine.

4. Ce qu’il reste à démontrer — et que le cours admet

La définition ne coûte rien ; la bilinéarité, elle, coûte tout. C’est elle qui autorise à développer , donc à calculer, et rien dans la formule de polarisation ne la rend évidente.

Elle équivaut, moyennant la continuité, à une seule identité sur les longueurs, l’identité du parallélogramme :

Sous forme géométrique, c’est le théorème de la médiane : la somme des carrés des diagonales d’un parallélogramme égale la somme des carrés des quatre côtés. Voilà le véritable contenu du produit scalaire. Il ne dit pas « il existe une opération » ; il dit que la distance euclidienne vérifie cette identité-là, ce qui est faux pour la plupart des distances imaginables. Le produit scalaire n’est pas une commodité de calcul ajoutée à la géométrie : c’est le nom d’une propriété particulière de la distance euclidienne.

5. Le bon ordre, enfin

Une fois la bilinéarité acquise, tout se remet en place, et dans un ordre exactement inverse de celui du cours.

1. La norme : , qui n’est que la distance retrouvée.
2. L’orthogonalité : deux vecteurs sont orthogonaux lorsque . C’est ici une définition, et le théorème de Pythagore en devient un calcul de trois lignes.
3. La base orthonormée : on peut alors en construire une, et la formule 2 devient un théorème au lieu d’une définition.
4. La projection orthogonale : la formule 3 s’en déduit.
5. L’angle, en dernier. L’inégalité de Cauchy-Schwarz garantit que le quotient appartient à l’intervalle ; on définit alors la mesure de l’angle comme l’arc cosinus de ce quotient. La formule 1 n’est plus un théorème : c’est la définition même de l’angle.

Voilà la réponse à la question du titre. La formule ne vient d’aucune des trois : elle vient de la distance, par polarisation. Les trois expressions du cours en sont des conséquences, et l’angle — qui ouvrait le chapitre — est le dernier objet construit, non le premier.

Reste un mot employé ci-dessus sans précaution : orthogonal. Il n’est pas synonyme de perpendiculaire, et la différence n’apparaît que dans l’espace. C’est le sujet du prochain article de la série.

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La construction de la distance à partir des classes de congruence de segments occupe le chapitre 3 de Du Point à l’Espace. Le produit scalaire lui-même n’y figure pas : l’ouvrage s’arrête à la métrique, qui est précisément ce dont cet article part.