Un seul des quatre défauts de continuité se répare, celui de la deuxième fonction. Les trois autres tiennent, et pour des raisons qu’il faut distinguer si l’on veut comprendre ce que la continuité exige. Ce corrigé se termine sur le théorème qui donne à cette notion tout son intérêt — et sur la propriété de ℝ dont il dépend entièrement.

Cet article corrige un exercice précédent de la série Tout tient à la limite, qui proposait quatre fonctions. Il rejoint aussi, et ce n’est pas un hasard, Ce qui manque à la première proposition d’Euclide.

1. Les quatre défauts, nommés

Fonction 1 — discontinuité de première espèce, ou saut. Les limites à gauche et à droite existent toutes deux, valent et , et diffèrent. La définition par les suites tranche en deux lignes : la suite de terme général tend vers et son image vaut constamment , alors que . Aucune modification de la valeur en ne sauve la continuité, puisque le défaut ne vient pas de cette valeur mais de l’écart entre les deux limites latérales.

Fonction 2 — discontinuité apparente. Pour tout réel différent de , on a . La limite en vaut donc , tandis que la valeur imposée vaut . C’est le seul défaut réparable des quatre : poser rend la fonction continue. La simplification par est licite parce qu’on l’effectue pour ; c’est précisément ce que la définition de la limite autorise, puisqu’elle ne regarde jamais la valeur au point.

Fonction 3 — discontinuité de seconde espèce, par oscillation. Posons et . Les deux suites tendent vers , et pourtant tandis que . Les images ont deux limites distinctes, donc la fonction n’admet aucune limite en . Aucune valeur attribuée à ne peut réparer cela, et la fonction reste pourtant bornée : diverger n’est pas grandir, ici non plus.

Fonction 4 — discontinuité en tout point. Soit un réel quelconque. Tout intervalle ouvert contenant renferme à la fois des rationnels et des irrationnels, sur lesquels vaut respectivement et . On construit donc deux suites tendant vers dont les images sont constamment et constamment . La fonction de Dirichlet n’est continue nulle part.

2. Quelle définition pour quel cas

La troisième question appelait une réponse uniforme, et c’est ce qui la rend instructive : les quatre se traitent le plus vite par la définition séquentielle. La raison est structurelle. Pour réfuter la continuité, il suffit d’un contre-exemple, et une suite est un contre-exemple. Passer par et obligerait à manier la négation de deux quantificateurs imbriqués, pour un résultat identique.

La symétrie vaut d’être retenue : la définition par les suites sert à réfuter, celle par et sert à établir. On l’a vérifié dans l’article consacré aux trois définitions, où la continuité en de la fonction se montrait d’un trait avec .

Quant à la cinquième question, elle se traite ainsi. Pour tout réel , on a , donc la fonction est continue en . En un point non nul, les deux suites précédentes donnent des images tendant vers et vers , qui diffèrent : la continuité échoue. Multiplier par une fonction discontinue partout produit donc une fonction continue en exactement un point — résultat qui paraît absurde tant qu’on croit que la continuité se lit sur un dessin.

3. Le théorème des valeurs intermédiaires

Toutes ces fonctions ont échoué. Voici ce que gagnent celles qui réussissent.

Théorème des valeurs intermédiaires. Soit une fonction continue sur un segment , et soit un réel compris entre et . Alors il existe un réel de tel que .

Quitte à remplacer par , on peut supposer , avec et . La démonstration procède alors par dichotomie, exactement comme dans l’article sur les suites adjacentes : on coupe le segment en deux, on garde la moitié dont les extrémités portent des images de signes contraires, et l’on recommence. Les deux suites d’extrémités sont adjacentes, donc elles convergent vers un même réel .

Reste à conclure, et c’est ici que la continuité sert. On a et à chaque étape ; les deux suites tendant vers , la définition séquentielle donne et , d’où .

La démonstration est constructive : elle ne se contente pas d’affirmer que existe, elle l’encadre à près. C’est la méthode que toute calculatrice emploie pour résoudre une équation.

4. Le même trou, pour la quatrième fois

Le théorème est faux dans . Considérons la fonction rationnelle définie sur par . Elle est continue au sens de la définition, on a et , et pourtant aucun rationnel de l’intervalle n’annule : il faudrait , qui n’y est pas.

La continuité ne suffit donc pas : le théorème repose sur la complétude de , entrée dans la démonstration par le principe des segments emboîtés. C’est la quatrième fois que cette série et la précédente rencontrent la même propriété : les suites de Cauchy qui ne convergent pas dans , les suites croissantes majorées sans limite rationnelle, les intervalles emboîtés d’intersection vide, et maintenant une fonction continue qui change de signe sans s’annuler.

Et il y en a une cinquième, dans un tout autre décor. Deux cercles qui se coupent dans le plan réel ne se coupent pas dans le plan rationnel : c’est le défaut de la première proposition d’Euclide, examiné le 19 août. Le principe d’intersection de deux cercles et le théorème des valeurs intermédiaires sont le même énoncé, transporté de la droite au plan. Une fonction continue qui change de signe s’annule ; un cercle qui passe du dedans au dehors traverse.

L’élève rencontre donc cette lacune deux fois, à des années d’intervalle et dans deux chapitres qui ne se parlent pas : quand on lui fait admettre le théorème des valeurs intermédiaires, et quand on lui fait tracer deux cercles pour obtenir un point. Personne ne lui dit que c’est la même chose.

Le prochain article de la série quitte la continuité pour la dérivation, et commence par rappeler que le nombre dérivé est une limite, non une pente.

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La continuité des fonctions numériques d’une variable réelle fera l’objet du Volume II du Discours formel sur les mathématiques pour le secondaire, en préparation. La continuité du plan euclidien, elle, est traitée dans Du Point à l’Espace.