Toute suite croissante et majorée converge — mais vers quoi ?

Voici le premier théorème du programme qui affirme qu’un objet existe sans donner le moindre moyen de le calculer. Il dit qu’une suite croissante et majorée converge ; il ne dit pas vers quoi. L’élève qui demande « oui, mais quelle est la limite ? » pose la bonne question, et la réponse honnête est qu’on n’en sait rien.

Cet article poursuit la série Tout tient à la limite. Il s’appuie sur la définition établie dans l’article consacré à ce que disent ε et N, et il conduit au principe des segments emboîtés, dont le prochain article de la série tire un outil de calcul effectif.

1. L’énoncé

Théorème de la limite monotone. Toute suite réelle croissante et majorée converge. Toute suite réelle décroissante et minorée converge.

Les deux hypothèses sont indispensables, et il est instructif de les retirer l’une après l’autre. Sans la monotonie, la suite de terme général $(-1)^{n}$ est bornée et diverge. Sans le majorant, la suite harmonique est croissante et diverge — c’est l’exemple du corrigé précédent, et il montre qu’une croissance aussi lente que l’on veut ne garantit rien.

2. La démonstration, et l’endroit où elle triche

Soit $(u_{n})$ une suite croissante et majorée. Notons $A$ l’ensemble de ses valeurs, c’est-à-dire $A=\{u_{n}\,:\,n\in\mathbb{N}\}$ . Cet ensemble est non vide et majoré. Il admet donc une borne supérieure, que l’on note $\ell$ . Montrons que la suite converge vers ce nombre.

Soit $\varepsilon>0$ . Le réel $\ell-\varepsilon$ est strictement inférieur à $\ell$ , donc il ne majore pas $A$ — sans quoi $\ell$ ne serait pas le plus petit des majorants. Il existe par conséquent un rang $N$ tel que $u_{N}>\ell-\varepsilon$ . La suite étant croissante, on a $u_{n}\geq u_{N}>\ell-\varepsilon$ pour tout entier $n\geq N$ . Comme par ailleurs $u_{n}\leq\ell$ , il vient

$\displaystyle \ell-\varepsilon<u_{n}\leq\ell<\ell+\varepsilon,$

c’est-à-dire $|u_{n}-\ell|<\varepsilon$ pour tout entier $n\geq N$ . La suite converge donc vers $\ell$ . $\quad\Box$

La démonstration est courte et sans ruse. Tout son poids repose sur la phrase mise en gras : il admet donc une borne supérieure. D’où vient ce droit ?

3. La propriété de la borne supérieure

Propriété de la borne supérieure. Toute partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$ admet un plus petit majorant.

Cet énoncé n’est pas un théorème que l’on démontrerait à partir des règles de calcul : c’est un axiome du corps des réels, ou, si l’on construit $\mathbb{R}$ plutôt que de le postuler, le résultat central de cette construction. Il est ce qui distingue $\mathbb{R}$ de $\mathbb{Q}$ .

La vérification est immédiate et vaut d’être faite. Dans $\mathbb{Q}$ , considérons la partie formée des rationnels positifs dont le carré est inférieur à $2$ . Elle est non vide, elle est majorée par $2$ , et elle n’a pas de plus petit majorant rationnel : tout majorant rationnel est strictement supérieur à $\sqrt{2}$ , et l’on peut toujours en trouver un plus petit. La même partie, vue dans $\mathbb{R}$ , admet $\sqrt{2}$ pour borne supérieure.

Le théorème de la limite monotone est donc faux dans $\mathbb{Q}$ . La suite des troncatures décimales de $\sqrt{2}$ , soit $1$ puis $1{,}4$ puis $1{,}41$ et ainsi de suite, est croissante, majorée par $2$ , formée de rationnels, et ne converge vers aucun rationnel. Sans la propriété de la borne supérieure, l’énoncé s’effondre.

On retrouve ici, pour la troisième fois sur ce blog, la même lacune sous trois costumes. C’est elle qui empêche deux cercles de se couper dans le plan rationnel, elle qui empêche une suite de Cauchy de converger dans $\mathbb{Q}$ , et elle qui empêcherait ici une suite croissante et majorée d’avoir une limite. Trois énoncés, une seule propriété.

4. Un théorème qui ne calcule rien

Le théorème garantit l’existence de la limite ; il n’en livre aucune valeur, aucune approximation, aucun procédé de calcul. C’est un théorème d’existence pure, et le premier que l’élève rencontre.

L’exemple canonique est la suite définie par

$\displaystyle u_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}.$

On établit qu’elle est croissante et majorée par $3$ , donc convergente. Sa limite porte un nom, $e$ , et ce nom est tout ce que la démonstration en apprend. Que ce nombre soit irrationnel, puis transcendant, sont des résultats bien postérieurs et sans rapport avec le théorème qui a garanti son existence.

Il faut mesurer ce que cela représente. Le procédé permet de définir un nombre par la suite qui l’approche, sans jamais l’écrire. C’est exactement l’idée des coupures de Dedekind et celle des suites de Cauchy, rencontrée ici sous sa forme la plus scolaire. Le programme de terminale l’emploie sans jamais dire qu’il l’emploie.

Une dernière remarque, pour qui trouverait la borne supérieure trop commode. On peut démontrer la réciproque : si l’on admet que toute suite croissante et majorée converge, on retrouve la propriété de la borne supérieure. Les deux énoncés sont équivalents, et l’on ne gagne rien à préférer l’un à l’autre. Ce que l’on ne peut pas faire, c’est se passer des deux.

Le prochain article de la série tire de ce théorème un outil de calcul effectif : les suites adjacentes, qui encadrent une limite au lieu de se contenter de l’affirmer.

Le théorème de la limite monotone fera l’objet du Volume II du Discours formel sur les mathématiques pour le secondaire, en préparation. La propriété de la borne supérieure et la construction du corps des réels, sur lesquelles il repose entièrement, sont exposées au chapitre 3 du Volume I.

Formalis Mathematica

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Toute suite croissante et majorée converge — mais vers quoi ?

1. L’énoncé

2. La démonstration, et l’endroit où elle triche

3. La propriété de la borne supérieure

4. Un théorème qui ne calcule rien

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1. L’énoncé

2. La démonstration, et l’endroit où elle triche

3. La propriété de la borne supérieure

4. Un théorème qui ne calcule rien

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