Deux droites, une droite et un plan, deux plans : trois couples d’objets, et pour chacun un petit nombre de positions possibles. L’exercice qui suit demande de les énumérer toutes, puis de dire, pour chacune, ce que la donnée des deux objets détermine et ce qu’elle laisse libre. Le compte tombe sur huit, et la dernière question ouvre sur un théorème que le programme énonce sans jamais le démontrer.

L’exercice poursuit la série Du point à l’espace. Il suppose connus les axiomes d’incidence et la troisième position des droites, exposés dans ce que les axiomes doivent ajouter et dans Droites non coplanaires. Le corrigé paraîtra trois jours plus tard.

1. Les conventions de l’énoncé

Deux points de vocabulaire, sans lesquels le compte n’a pas de sens.

Deux droites coplanaires sont parallèles si elles sont égales ou sans point commun. Une droite et un plan sont parallèles si la droite est contenue dans le plan ou si les deux n’ont aucun point commun. Deux plans sont parallèles s’ils sont égaux ou sans point commun.

Dans tout l’exercice, les deux objets considérés sont supposés distincts. On parlera de strictement parallèles pour écarter le cas des objets confondus.

2. Ce qui est demandé

1. Établir la liste des positions relatives possibles pour deux droites distinctes, puis pour une droite et un plan, puis pour deux plans distincts. Vérifier que l’on obtient en tout huit configurations, et démontrer dans chaque cas que la liste est exhaustive.
2. Pour chacune des huit, dire ce que la donnée des deux objets détermine : un point, une droite, un plan, ou rien. Présenter la réponse sous forme de tableau.
3. Quatre des huit configurations ont une intersection vide. Trois d’entre elles portent le nom de parallélisme ; la quatrième non. Laquelle, et pour quelle raison précise ? En déduire pourquoi « n’avoir aucun point commun » ne peut pas servir de définition du parallélisme dans l’espace.
4. Soient et deux droites non coplanaires. Démontrer qu’il existe un unique plan contenant et parallèle à .
5. Soient et deux plans sécants, d’intersection la droite . Soit une droite contenue dans et une droite contenue dans , ces deux droites étant parallèles entre elles. Que peut-on dire de ? Formuler une conjecture, et l’éprouver sur un exemple avant de chercher à la démontrer.

3. Trois indications

Pour la question 1, le schéma de démonstration est le même dans les trois cas : appliquer le tiers exclu à l’intersection des deux objets, puis distinguer selon qu’elle est vide, réduite à un point, ou plus grande. Les axiomes I.2, I.4, I.5 et I.6 font le reste. Pour deux droites, ne pas oublier le cas où aucun plan ne les contient : il n’apparaît pas dans la discussion sur l’intersection, et c’est précisément ce qui le rend facile à manquer.

Pour la question 4, choisir un point sur et mener par la parallèle à dans un plan bien choisi. L’unicité se traite par l’absurde, en supposant deux tels plans et en regardant leur intersection.

Pour la question 5, un toit à deux pans fournit la figure : les deux versants sont les plans, la ligne de faîte est leur intersection, et les bords inférieurs des deux pans sont les deux droites parallèles. La conjecture s’écrit alors toute seule ; c’est sa démonstration qui demande du travail.

4. Pourquoi compter

Un dénombrement de configurations n’est pas un exercice d’inventaire. C’est ce qui autorise le raisonnement par disjonction des cas : on ne peut conclure « dans tous les cas » qu’après avoir prouvé que la liste des cas est complète. Une liste incomplète donne une démonstration d’apparence irréprochable et sans valeur.

La deuxième question a un autre objet. Elle demande de séparer deux choses que l’enseignement mélange : ce qu’une configuration est, et ce qu’elle fournit. Deux droites sécantes fournissent un point et un plan ; deux droites strictement parallèles ne fournissent pas de point mais fournissent un plan ; deux droites non coplanaires ne fournissent ni l’un ni l’autre. C’est cette dernière ligne du tableau qui explique pourquoi les exercices d’espace sont plus difficiles que ceux du plan : l’objet le plus courant de la géométrie plane, le plan déterminé par deux droites, cesse d’exister une fois sur trois.

Le compte, enfin, dépend d’une convention et il faut la voir. En autorisant les objets confondus, on passe de huit à dix : deux droites égales, deux plans égaux. Les manuels tantôt les comptent, tantôt les écartent, sans jamais dire lequel des deux ils font.

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Les positions relatives des droites et des plans, avec leurs démonstrations complètes, occupent l’annexe A de Du Point à l’Espace.