Depuis le collège, l’élève tient une alternative pour acquise : deux droites sont sécantes, ou bien elles sont parallèles. Il n’y a pas de troisième terme, et de fait il n’y en a pas — dans le plan. Montrez-lui alors, sur un cube, l’arête du bas et l’arête verticale du coin opposé. Elles ne se coupent pas. Elles ne sont pas parallèles non plus. L’alternative qu’il croyait exhaustive vient de perdre un cas, et ce cas n’a aucun équivalent dans le plan.

Cet article poursuit la série Du point à l’espace. Il s’appuie sur les axiomes d’incidence exposés dans ce que les axiomes doivent ajouter pour passer du plan à l’espace, eux-mêmes tirés des cinq groupes d’axiomes de Hilbert.

1. La dichotomie du plan, et pourquoi elle tient

Commençons par établir ce que l’élève a raison de croire, tant qu’il reste dans une feuille de papier.

Proposition. Dans un plan, deux droites quelconques sont sécantes, ou égales, ou parallèles.

Preuve. Soient et deux droites d’un plan. Leur intersection contient zéro point, un point, ou au moins deux points. Si elle est vide, les droites sont parallèles par définition. Si elle contient exactement un point, elles sont sécantes. Si elle contient deux points distincts et , alors l’axiome I.2 donne : les droites sont égales.

La démonstration est courte, et elle ne se sert que du tiers exclu et d’un axiome. Elle ne se sert surtout d’aucune hypothèse cachée — sauf une, si évidente qu’elle ne se voit pas : les deux droites sont dans un même plan. C’est cette hypothèse-là qui va tomber.

2. Ce que la définition de « parallèle » exige vraiment

Voici la définition, dans sa forme complète.

Définition. Deux droites coplanaires sont dites parallèles si elles sont égales ou si elles n’ont aucun point commun.

Le mot décisif est le premier adjectif, et c’est celui que l’enseignement laisse tomber. « Parallèles » ne signifie pas « sans point commun » : il signifie « coplanaires et sans point commun ». Dans le plan, la précision est superflue, puisque tout y est coplanaire ; dans l’espace, elle porte toute la difficulté.

L’erreur qui en découle est la plus fréquente des copies de terminale : ces deux droites n’ont aucun point commun, donc elles sont parallèles. Dans l’espace, cette implication est fausse, et le contre-exemple tient dans un cube.

3. La troisième position

Considérons un cube , la face en bas, la face au-dessus, le sommet à la verticale de , et ainsi de suite. Prenons l’arête et l’arête verticale .

Elles n’ont aucun point commun : la première est dans le plan du bas, la seconde ne le rencontre qu’en , qui n’est pas sur . Sont-elles parallèles pour autant ? Il faudrait qu’un plan les contienne toutes les deux. Or un plan contenant et le point contient les trois points non alignés , , : c’est donc le plan , celui de la face du bas, et il ne contient pas . Aucun plan ne contient les deux droites.

Ces deux droites ne sont ni sécantes, ni parallèles. On les dit non coplanaires. Le résultat général s’énonce alors sans mystère.

Proposition. Dans l’espace euclidien, deux droites quelconques sont soit non coplanaires, soit coplanaires — et dans ce dernier cas, parallèles ou sécantes.

Preuve. Soient et deux droites. Ou bien elles sont contenues dans un même plan, et la proposition du paragraphe 1 s’applique telle quelle. Ou bien aucun plan ne les contient toutes deux, et elles sont non coplanaires par définition.

La brièveté de cette preuve ne doit pas tromper : tout le contenu est dans la clause « ou bien aucun plan ne les contient toutes deux », dont le paragraphe précédent montre qu’elle n’est pas vide. Et cette clause n’est possible que parce que l’axiome I.7 garantit quatre points non coplanaires. Dans un espace réduit à un plan, la troisième position n’existerait pas.

4. Deux droites sans point commun ne déterminent plus rien

Le coût de cette troisième position se mesure à ce qu’elle fait perdre. Dans le plan, deux droites parallèles distinctes déterminent un plan : le leur. Dans l’espace, deux droites sans point commun ne déterminent rien du tout, puisqu’il faut d’abord savoir si elles sont coplanaires.

Il en résulte une conséquence que les manuels passent sous silence : la transitivité du parallélisme cesse d’être évidente. Dans le plan, de et on tire en trois lignes. Dans l’espace, l’énoncé reste vrai, mais sa démonstration doit traiter séparément le cas où les trois droites ne sont pas coplanaires, et ce cas demande une page.

La raison en est simple, et elle vaut d’être nommée : affirme quelque chose dans le plan qui contient ces deux droites, affirme quelque chose dans un autre plan, et rien ne relie a priori les deux énoncés. Le fait qu’ils se composent tout de même est un théorème de l’espace, pas une propriété formelle de la relation.

5. Pourquoi l’œil ne voit pas la différence

Il y a une raison matérielle à la résistance des élèves, et elle mérite d’être dite au lieu d’être corrigée à coups de « regarde bien » : sur une feuille, deux droites non coplanaires ont exactement l’allure de deux droites sécantes. La perspective projette deux droites qui ne se rencontrent pas en deux traits qui se croisent, et le croisement dessiné n’est le point d’aucune des deux.

D’où la convention typographique du dessin technique : on interrompt l’un des deux traits à l’endroit du croisement, pour signaler que ce point n’existe pas. C’est une béquille pour le lecteur, et il faut savoir que c’en est une. Ce n’est pas de la géométrie ; c’est du dessin.

La leçon est celle de toute cette rubrique. Ce que la figure suggère n’est pas ce que la définition dit, et lorsque les deux divergent, c’est la définition qui tranche. Ici, elle tranche par un seul mot, placé en tête : coplanaires.

6. Trois positions, et un compte à faire

Pour deux droites distinctes de l’espace, il reste donc trois positions : sécantes, strictement parallèles, non coplanaires. Le même travail est à faire pour une droite et un plan, puis pour deux plans, et le compte total n’est pas celui qu’on attend.

C’est l’objet de l’exercice Positions relatives, huit configurations, qui demande de les énumérer toutes et, pour chacune, de dire ce que la donnée des deux objets détermine et ce qu’elle laisse libre.

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Le parallélisme et les positions relatives des droites de l’espace sont traités à l’annexe A de Du Point à l’Espace.