« L’espace, c’est le plan avec une dimension de plus. » La formule est commode, et elle ne dit rien de ce qui change vraiment. Passer du plan à l’espace ne consiste pas à ajouter une lettre dans un repère : il faut ajouter des axiomes. Cinq exactement, dans le seul groupe d’incidence, et chacun interdit quelque chose que le plan n’avait pas à interdire. Sans eux, deux plans pourraient se couper en un point unique, et l’espace tout entier pourrait n’être qu’un plan.

Cet article ouvre la série Du point à l’espace, qui porte le titre de l’ouvrage dont elle est tirée. Il prend la suite directe des cinq groupes d’axiomes de Hilbert, dont il reprend le premier pour en examiner les cinq énoncés que le plan seul n’exigeait pas.

1. Ce que le plan n’avait pas à dire

Hilbert appelle association ce que les manuels nomment incidence : la seule relation d’appartenance, sans longueur, sans angle, sans ordre. Pour la géométrie du plan, deux axiomes y suffisent.

Axiome I.1. Pour des points distincts quelconques et , il existe une droite, notée , passant par et .

Axiome I.2. Deux points distincts d’une droite déterminent cette droite : si et sont des points distincts d’une droite , alors .

Tout le reste de la géométrie plane — l’ordre, la congruence, les parallèles, la continuité — se joue dans les quatre autres groupes. Pour l’incidence, il n’y a rien à ajouter, et la raison est simple : dans le plan, le plan lui-même est le décor. On n’a pas à le décrire, puisqu’il n’y en a qu’un et qu’on ne le quitte jamais.

Dès qu’il y a plusieurs plans, le décor devient un objet parmi d’autres. Il faut alors dire comment on le fabrique, ce qu’il contient, et comment deux tels objets se rencontrent. C’est tout le travail des cinq axiomes suivants.

2. Les cinq axiomes qui font l’espace

Axiome I.3. Si , et sont des points non alignés, alors il existe un plan contenant , et . Ce plan est noté .

Axiome I.4. Chaque triplet de points non alignés d’un plan détermine ce plan : si , et sont des points non alignés d’un plan , alors .

Axiome I.5. Si deux points distincts appartiennent à un plan, alors il en est de même de chaque point de la droite qui les joint : si et sont des points distincts d’un plan , alors .

Axiome I.6. Lorsque deux plans ont un point commun, ils en ont au moins un second.

Axiome I.7. Dans tout plan, il y a au moins trois points non alignés ; et, dans l’espace, il existe au moins quatre points non coplanaires.

Cinq énoncés, et pas un de trop. Les trois derniers méritent chacun un examen, parce que chacun est exactement ce qui exclut une figure absurde que rien d’autre n’exclurait.

3. L’axiome I.5, ou ce qui empêche une droite de sortir du plan

L’axiome I.5 paraît vide de contenu. À quoi ressemblerait un « plan » dont une droite s’échapperait après l’avoir traversé en deux points ?

À quelque chose de parfaitement cohérent, justement. Rien, dans I.3 et I.4, n’interdit d’appeler « plan » la partie de l’espace formée de trois points non alignés et de rien d’autre. Un tel objet est bien contenu dans l’espace, il est bien déterminé par trois points non alignés, et il ne contient aucune droite. Les axiomes I.3 et I.4 le tolèrent sans broncher. C’est I.5 qui l’exclut, et lui seul.

Une fois I.5 posé, on obtient le premier des deux énoncés que toute figure d’espace emploie sans le nommer. Et c’est un théorème, non un axiome.

Proposition. Soit une droite et un point n’appartenant pas à . Alors il existe un unique plan contenant et .

Preuve. Choisissons deux points distincts et sur ; l’axiome I.2 donne . Les points , et ne sont pas alignés, faute de quoi appartiendrait à . L’axiome I.3 fournit alors le plan , et l’axiome I.5 donne : ce plan contient bien et . Quant à l’unicité, tout plan contenant et contient les trois points non alignés , et , donc coïncide avec d’après l’axiome I.4.

4. L’axiome I.6, ou pourquoi deux plans ne se coupent jamais en un seul point

Dans le plan, deux droites distinctes qui se rencontrent le font en un point. On s’attendrait, par analogie, à ce que deux plans distincts qui se rencontrent se rencontrent en une droite. L’analogie est juste, mais elle ne se déduit de rien : c’est l’axiome I.6 qui la fabrique.

L’élève à qui l’on montre deux murs qui se rejoignent voit l’arête, et il conclut. C’est exactement le geste que la première proposition d’Euclide nous a appris à tenir pour suspect : ce que la figure donne à voir n’est pas ce que les hypothèses permettent d’écrire.

Proposition. Deux plans et sont égaux, ou disjoints, ou leur intersection est une droite. En aucun cas elle ne se réduit à un point.

Preuve. Si , il n’y a rien à dire. Sinon, soit un point commun. L’axiome I.6 fournit un second point commun , distinct de . L’axiome I.5, appliqué à puis à , donne et , donc .

Reste à voir que l’intersection n’excède pas cette droite. Si elle contenait un point hors de , les points , et seraient non alignés et communs aux deux plans ; l’axiome I.4 donnerait alors . Ainsi, ou bien les deux plans sont égaux, ou bien .

Sans I.6, la figure absurde est facile à décrire : deux plans se touchant en un unique point, comme deux cornets posés pointe contre pointe. Aucun des axiomes I.1 à I.5 ne s’y oppose.

5. C’est l’axiome I.7 qui interdit à l’espace d’être un plan

Le dernier axiome du groupe a deux moitiés. La première — tout plan contient au moins trois points non alignés — empêche les plans d’être dégénérés. La seconde est d’une autre nature : il existe au moins quatre points non coplanaires.

Retirons-la, et regardons ce qui subsiste. Prenons pour espace un plan unique, avec ses points et ses droites, et décrétons que ce plan est le seul. Les axiomes I.1 à I.5 sont satisfaits sans effort. L’axiome I.6 l’est aussi, et même trivialement : deux plans sont toujours égaux, donc ils ont autant de points communs qu’on veut. La proposition du paragraphe précédent est vraie. Rien ne cloche. L’espace est un plan, et aucun des six premiers axiomes ne l’en empêche.

Le procédé est celui de l’article publié le 19 août 2026, avec le plan rationnel : pour établir qu’un axiome manque, on exhibe un monde où tous les autres tiennent et où l’énoncé voulu est faux. Ici le monde est le plan lui-même, et l’énoncé qui tombe est que l’espace ait trois dimensions.

Une précaution de vocabulaire, qui a son prix. Ces quatre points non coplanaires ne disent pas que la dimension vaut trois : à ce stade, la dimension n’est pas définie, et l’axiome ne parle que d’appartenance. Ils disent seulement que l’espace n’est pas contenu dans un plan. Que cela suffise à fixer la dimension à trois, ni plus ni moins, est un théorème — et il faudra toute la série pour y arriver.

6. Ce que ces cinq axiomes achètent

Deux énoncés, et ce sont eux que l’on emploie à chaque figure. Le premier a été démontré au paragraphe 3 : par une droite et un point extérieur passe un plan et un seul. Voici le second.

Proposition. Il existe un et un seul plan contenant deux droites sécantes données.

Preuve. Soient et deux droites sécantes en . Choisissons sur et sur , tous deux distincts de . Les points , et ne sont pas alignés : sinon et seraient une seule et même droite, et les deux droites ne seraient pas sécantes mais confondues. Le plan contient donc, par l’axiome I.5, les droites et , et l’axiome I.4 en assure l’unicité.

Voilà le prix exact du passage à l’espace : cinq axiomes d’incidence, dont trois interdisent chacun une figure que l’œil n’aurait jamais imaginée, et deux théorèmes qui rendent les figures utilisables. Ce que le plan obtenait gratuitement, l’espace le paie.

Reste à voir ce que l’espace fait perdre. Dans le plan, deux droites sont sécantes ou parallèles, sans troisième terme. L’article à paraître « Droites non coplanaires : la première surprise de l’espace » montre que cette alternative tombe, et ce qu’il en coûte aux démonstrations.

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Les axiomes de l’espace euclidien, groupés et commentés un à un, occupent le chapitre 2 de Du Point à l’Espace.