La toute première proposition des Éléments d’Euclide est aussi la plus rassurante : construire un triangle équilatéral sur un segment donné. Deux cercles, un compas, trois lignes de texte. C’est le premier théorème que l’humanité ait rédigé selon la méthode déductive, et il est faux — non pas dans sa conclusion, qui est vraie, mais dans sa démonstration, qui utilise un point dont rien n’a garanti l’existence.

Cet article prolonge « Un point n’a ni longueur ni épaisseur » — et alors ?, où nous avions vu qu’une définition qui ne sert à rien dans les démonstrations n’est pas une définition. Nous examinons ici le défaut symétrique : un objet dont on se sert sans l’avoir jamais construit.

1. L’énoncé et sa démonstration

Proposition I.1. Sur une droite finie donnée, construire un triangle équilatéral.

Soit le segment donné. La démonstration d’Euclide tient en quatre gestes.

1. Tracer le cercle de centre passant par (troisième postulat).
2. Tracer le cercle de centre passant par (troisième postulat).
3. Nommer un point d’intersection des deux cercles.
4. Tracer et (premier postulat). Alors puisque , et puisque ; les trois côtés sont égaux.

Chaque geste est justifié par un postulat, sauf un. Le troisième — nommer — n’en invoque aucun, et pour cause : aucun des cinq postulats ne dit que deux cercles se coupent.

2. Ce que les postulats disent, et ce qu’ils taisent

Reprenons la liste. Le premier postulat permet de joindre deux points par une droite. Le deuxième permet de prolonger un segment. Le troisième permet de décrire un cercle de centre et de rayon donnés. Le quatrième affirme l’égalité de tous les angles droits. Le cinquième règle la question des parallèles.

Les trois premiers sont des permissions de construire : ils fabriquent des lignes à partir de points. Aucun ne fabrique de point. Or la démonstration a besoin, à son troisième geste, d’un point nouveau, qui n’est ni , ni , ni obtenu par une permission accordée. Euclide le prend sur la figure.

3. Pourquoi la figure ne prouve rien

On objectera que l’affaire est visible : les deux cercles se coupent, on le voit. C’est exact, et c’est précisément ce qui rend l’objection dangereuse. Une démonstration ne s’appuie que sur ses hypothèses ; ce qui n’est pas écrit n’existe pas. Si le dessin peut suppléer un postulat manquant, alors la méthode axiomatique tout entière n’est qu’un ornement.

Et l’argument du dessin est faux, comme le montre un contre-modèle élémentaire. Travaillons dans le plan , c’est-à-dire avec les seuls points à coordonnées rationnelles. Toutes les notions employées par Euclide y ont un sens : les droites, les cercles, les distances, les angles. Prenons les points et . Un point , situé sur les cercles de rayon et de centres respectifs et , vérifie

En soustrayant, il vient , donc , puis . Il faudrait , qui n’est pas rationnel. Dans le plan rationnel, les deux cercles ne se coupent pas, et le triangle équilatéral n’existe pas.

Ce plan rationnel satisfait pourtant les cinq postulats d’Euclide. La proposition I.1 y est donc fausse. Ce n’est pas une subtilité de logicien : c’est la preuve, au sens strict, que la démonstration d’Euclide ne se déduit pas de ses postulats. Il y manque quelque chose, et ce quelque chose porte un nom.

4. Le nom du trou : la continuité

Ce qui manque au plan rationnel, ce n’est ni une droite ni un angle : ce sont des points. Il est troué. La propriété qu’il faut ajouter est une propriété de continuité, et on peut l’énoncer directement.

Principe d’intersection de deux cercles. Si un cercle possède un point intérieur à et un point extérieur à , alors et ont un point commun.

La ressemblance avec le théorème des valeurs intermédiaires n’est pas fortuite : c’est le même énoncé, transporté de la droite réelle au plan. Une fonction continue qui change de signe s’annule ; un cercle qui passe du dedans au dehors traverse. Dans les deux cas, l’énoncé est faux sur et vrai sur , et pour la même raison.

L’élève de terminale rencontre donc deux fois la même lacune, sans qu’on la lui présente jamais comme telle : quand on lui fait admettre le théorème des valeurs intermédiaires, et quand on lui fait tracer deux cercles pour obtenir un point.

5. Deux mille deux cents ans

Le défaut est resté invisible très longtemps. Non par négligence : pour le voir, il faut pouvoir imaginer un plan troué, donc disposer d’une théorie des nombres réels distincte de l’intuition géométrique. Cette théorie n’existe qu’à partir des années 1870, avec Dedekind et Cantor. Le trou de la proposition I.1 ne pouvait pas être aperçu avant que l’on sache construire ce qui le comble.

La réponse complète vient en 1899, avec les Grundlagen der Geometrie de Hilbert : cinq groupes d’axiomes, dont le dernier est consacré à la continuité, et une exigence de méthode restée célèbre — les démonstrations doivent rester valides si l’on remplace « point », « droite » et « plan » par « table », « chaise » et « chope de bière ». Autrement dit : si la figure vous est nécessaire, c’est qu’un axiome vous manque.

Reste à savoir ce que réparent exactement ces cinq groupes, et pourquoi il en faut cinq. Ce sera l’objet du prochain article de ce fil.

---

La construction du plan euclidien à partir d’axiomes explicites, et la place qu’y tient la continuité, sont exposées dans Du Point à l’Espace.