Le théorème de Gauss : quand a-t-on le droit de simplifier une divisibilité ?

Voici l’un des raisonnements faux les plus tenaces de l’arithmétique scolaire : puisque $a$ divise le produit $bc$ , il divise $b$ ou il divise $c$ . La phrase sonne juste. Elle est fausse, et le contre-exemple tient en une ligne.

$\displaystyle 6 \mid 4\times 9, \qquad\text{mais}\qquad 6\nmid 4 \quad\text{et}\quad 6\nmid 9$

Le produit vaut 36, que 6 divise sans peine ; aucun des deux facteurs ne lui cède. Que manque-t-il donc à l’énoncé pour devenir vrai ? Une hypothèse, une seule, et c’est le théorème de Gauss.

1. Pourquoi 6 échoue

Regardons de près. $6=2\times 3$ , et le diviseur se scinde : le facteur 2 se loge dans 4, le facteur 3 se loge dans 9. Aucun des deux facteurs du produit ne reçoit 6 tout entier, mais à eux deux ils l’accueillent.

Ce partage n’est possible que parce que 6 a un facteur commun avec 4, et un autre avec 9. Interdisons le premier partage — exigeons que $a$ et $b$ n’aient rien en commun — et le diviseur n’aura plus d’autre logement que $c$ .

2. Le théorème

Théorème de Gauss. Soient $a$ , $b$ et $c$ des entiers. Si $a$ divise $bc$ et si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors $a$ divise $c$ .

Démonstration. Puisque $a$ et $b$ sont premiers entre eux, le théorème de Bézout fournit des entiers $u$ et $v$ tels que $au+bv=1$ . Multiplions cette égalité par $c$ :

$\displaystyle c=acu+bcv$

L’entier $a$ divise le premier terme, de façon évidente. Il divise le second, puisqu’il divise $bc$ par hypothèse. Il divise donc leur somme, c’est-à-dire $c$ . $\square$

Trois lignes. C’est le rendement de l’identité de Bézout : elle transforme une hypothèse de primalité — une propriété négative, difficile à manipuler — en une égalité avec laquelle on calcule.

3. Le cas premier

Corollaire (lemme d’Euclide). Si un nombre premier $p$ divise un produit $bc$ , alors il divise $b$ ou il divise $c$ .

Supposons que $p$ ne divise pas $b$ . Les seuls diviseurs positifs de $p$ étant 1 et $p$ , et $p$ ne divisant pas $b$ , on a $\mathrm{pgcd}(p\,;\,b)=1$ . Le théorème de Gauss donne alors $p\mid c$ . $\square$

Le raisonnement scolaire n’était donc pas absurde : il est correct pour les nombres premiers. L’erreur consiste à l’appliquer à 6, qui ne l’est pas.

4. Première application : toutes les solutions

L’article précédent laissait une dette. Nous avions donné les solutions de $ax+by=c$ sous la forme $x=x_{0}+b^{\prime}k$ , $y=y_{0}-a^{\prime}k$ , sans montrer qu’il n’y en avait pas d’autres. Le théorème de Gauss solde cette dette.

Notons $d=\mathrm{pgcd}(a\,;\,b)$ , puis $a=da^{\prime}$ et $b=db^{\prime}$ , de sorte que $a^{\prime}$ et $b^{\prime}$ soient premiers entre eux. Soit $(x_{0}\,;\,y_{0})$ une solution particulière et $(x\,;\,y)$ une solution quelconque. En soustrayant les deux égalités :

$\displaystyle a(x-x_{0})=-b(y-y_{0}), \qquad\text{donc}\qquad a^{\prime}(x-x_{0})=-b^{\prime}(y-y_{0})$

après simplification par $d$ . Ainsi $b^{\prime}$ divise $a^{\prime}(x-x_{0})$ ; comme $a^{\prime}$ et $b^{\prime}$ sont premiers entre eux, le théorème de Gauss impose que $b^{\prime}$ divise $x-x_{0}$ . Il existe donc un entier $k$ tel que $x=x_{0}+b^{\prime}k$ , et en reportant, $y=y_{0}-a^{\prime}k$ . Aucune solution n’échappe à cette forme. $\square$

5. Seconde application : un piège de divisibilité

Corollaire. Si $a$ et $b$ divisent $c$ et si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors $ab$ divise $c$ .

Écrivons $c=ak$ . Comme $b$ divise $c=ak$ et que $b$ est premier avec $a$ , le théorème de Gauss donne $b\mid k$ , soit $k=bk^{\prime}$ , d’où $c=abk^{\prime}$ . $\square$

C’est ce corollaire qui légitime le critère usuel : un entier est divisible par 6 si et seulement s’il l’est par 2 et par 3, ces deux nombres étant premiers entre eux.

Et c’est lui, aussi, qui explique pourquoi la méthode échoue dès qu’on oublie l’hypothèse. Pour tester la divisibilité par 12, il ne suffit pas de vérifier la divisibilité par 2 et par 6 : le nombre 18 passe les deux tests et n’est pourtant pas divisible par 12. La raison tient en un mot : $\mathrm{pgcd}(2\,;\,6)=2$ . Il faut décomposer 12 en facteurs premiers entre eux, par exemple $12=4\times 3$ , et vérifier alors la divisibilité par 4 et par 3.

6. Note historique

L’appellation mérite une précision. Le cas des nombres premiers — notre corollaire du paragraphe 3 — figure déjà dans les Éléments d’Euclide, au livre VII, proposition 30, vers 300 avant notre ère. Il y est démontré sans Bézout, par une descente sur les grandeurs.

La généralisation aux entiers premiers entre eux apparaît dans les Disquisitiones Arithmeticae, que Gauss publie en 1801 à vingt-quatre ans. C’est l’usage français qui a fixé le nom de « théorème de Gauss » ; la tradition anglophone parle plutôt d’Euclid’s lemma pour le cas premier, et réserve le nom de Gauss à un tout autre énoncé, portant sur les polynômes primitifs. Deux mille cent ans séparent les deux formulations, et le nom retenu désigne la plus récente.

7. Exercices

Trouver trois entiers $a$ , $b$ , $c$ tels que $a$ divise $bc$ , que $a$ ne divise ni $b$ ni $c$ , et que $a$ soit le plus petit possible.
Montrer que si $n$ est divisible par 35 et par 21, alors il est divisible par 105. Le résultat subsiste-t-il en remplaçant 105 par $35\times 21$ ?
Soient $a$ et $b$ premiers entre eux. Démontrer que $a+b$ et $ab$ le sont également.
Déterminer tous les couples d’entiers relatifs solutions de $35x+21y=14$ .

Le théorème de Gauss, ses corollaires et leurs usages sont traités au chapitre 3 de Mathématiques en terminales scientifiques, Tome 2 — Arithmétique : cours et exercices corrigés.

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Le théorème de Gauss : quand a-t-on le droit de simplifier une divisibilité ?

1. Pourquoi 6 échoue

2. Le théorème

3. Le cas premier

4. Première application : toutes les solutions

5. Seconde application : un piège de divisibilité

6. Note historique

7. Exercices

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1. Pourquoi 6 échoue

2. Le théorème

3. Le cas premier

4. Première application : toutes les solutions

5. Seconde application : un piège de divisibilité

6. Note historique

7. Exercices

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