Trois obstacles à la dérivabilité, et un quatrième défaut qui n’en est pas un : la dernière fonction est bien dérivable partout, mais sa dérivée n’est continue nulle part au voisinage de l’origine. Le corrigé se termine sur le théorème qui met la dérivée au travail, et sur l’énumération de ce qu’il faut lui accorder pour qu’il tienne.

Cet article corrige l’exercice précédent de la série Tout tient à la limite, qui proposait quatre fonctions continues et non dérivables — sauf une.

1. Les trois obstacles

Fonction 1 — point anguleux. Le taux d’accroissement en vaut , qui tend vers à droite et vers à gauche. Les deux limites latérales existent et diffèrent : la fonction admet une dérivée à droite et une dérivée à gauche, sans être dérivable.

Fonction 2 — tangente verticale. Le taux d’accroissement en vaut , quantité toujours positive qui tend vers . La limite existe donc dans , mais elle n’est pas finie, et la définition l’exige. C’est précisément ce que l’indication annonçait : ne pas confondre « pas de limite » et « pas de limite finie ».

Fonction 3 — oscillation. Le taux d’accroissement en vaut exactement . Les suites de terme général et tendent vers et donnent des taux valant constamment et . Aucune limite, ni finie ni infinie.

La troisième question portait sur ce qui subsiste. Les deux premiers obstacles laissent à la courbe une propriété géométrique réelle : la fonction 1 admet deux demi-tangentes distinctes, la fonction 2 admet une tangente, verticale. Le troisième ne laisse rien : la courbe n’admet aucune tangente en , pas même verticale. Trois échecs, et deux d’entre eux se dessinent encore.

2. La quatrième, et la classe C¹

Le taux d’accroissement de en vaut , quantité majorée en valeur absolue par . Sa limite est donc nulle, et l’on a .

Pour non nul, les règles de dérivation donnent

Le premier terme tend vers . Le second ne tend vers rien : en prenant , le cosinus vaut et le facteur grandit sans limite. La dérivée n’admet donc pas de limite en , alors qu’elle y est définie et vaut .

Voilà une fonction dérivable sur tout entier dont la dérivée est discontinue en . La classe est donc strictement incluse dans celle des fonctions dérivables, et l’écart entre les deux n’est pas un raffinement de notation.

Une dernière remarque, qui referme la boucle avec l’exercice sur la continuité. La dérivée est discontinue en , mais pas de n’importe quelle manière : le théorème de Darboux établit qu’une fonction dérivée vérifie toujours la propriété des valeurs intermédiaires, même lorsqu’elle n’est pas continue. Une dérivée ne peut donc jamais présenter de saut. Elle peut osciller, elle ne peut pas sauter.

3. Le théorème de Rolle

Théorème de Rolle. Soit une fonction continue sur , dérivable sur , et telle que . Alors il existe un réel de vérifiant .

La démonstration repose sur un lemme qu’il faut énoncer à part, car il est l’outil réel.

Lemme. Si admet un extremum local en un point intérieur à son intervalle de définition, et si est dérivable en , alors .

Preuve du lemme. Supposons que soit un maximum local. Pour assez petit, le numérateur est négatif ou nul et le dénominateur positif, donc le taux d’accroissement est négatif ou nul ; sa limite à droite vérifie . Pour assez petit, les deux signes s’inversent et la limite à gauche donne . La fonction étant dérivable, les deux limites coïncident, d’où .

Preuve du théorème. La fonction est continue sur le segment : elle y atteint donc son maximum et son minimum. Si les deux sont atteints aux extrémités, alors est constante, puisque , et n’importe quel point de convient. Sinon, l’un des deux extremums est atteint en un point intérieur, et le lemme donne .

4. Trois hypothèses, trois contre-exemples

L’énoncé distingue soigneusement le fermé et l’ouvert : continuité sur , dérivabilité sur . Cette asymétrie n’est pas un ornement.

Sans la continuité aux extrémités. Posons sur et . On a bien , la fonction est dérivable sur , et sa dérivée y vaut constamment . La continuité manque en , et la conclusion tombe.

Sans la dérivabilité en un seul point intérieur. Posons sur . La fonction est continue, on a , et la dérivée vaut ou partout où elle existe. Un unique point anguleux suffit à ruiner le théorème.

En revanche, la dérivabilité aux extrémités n’est pas exigée, et c’est heureux : la fonction sur vérifie toutes les hypothèses, admet une tangente verticale en et en , et sa dérivée s’annule bien en .

Reste à signaler ce que la démonstration a emprunté sans le dire. Elle utilise qu’une fonction continue sur un segment y atteint ses bornes — théorème dont la démonstration repose, une fois de plus, sur la complétude de . C’est la cinquième apparition de cette propriété dans la série. Rolle est donc faux dans , et il l’est pour la même raison que tout le reste.

Le dernier article de la série tire de Rolle le théorème des accroissements finis, et de celui-ci le résultat que tout élève applique sans jamais le démontrer : le signe de la dérivée gouverne les variations.

---

Le théorème de Rolle, ses hypothèses et le lemme de l’extremum intérieur relèvent des fonctions numériques d’une variable réelle, auxquelles sera consacré le Volume II du Discours formel sur les mathématiques pour le secondaire, en préparation. La complétude de ℝ, dont dépend le théorème des bornes atteintes employé dans la preuve, est exposée au chapitre 3 du Volume I.