Le mot traîne dans l’enseignement depuis vingt-trois siècles sans avoir jamais été défini. Euclide s’en sert pour démontrer un cas d’égalité des triangles ; Hilbert, deux mille deux cents ans plus tard, refuse cette démonstration et pose à la place un axiome. Entre les deux, il y a tout ce que l’article veut expliciter : ce qu’il faudrait supposer pour que « déplacer une figure sur une autre » soit un argument.
L’article clôt le premier mouvement de la série Du point à l’espace. Il prolonge ce qui manque à la première proposition d’Euclide et les cinq groupes d’axiomes de Hilbert, et il réutilise le produit scalaire défini par polarisation.
1. La proposition IV d’Euclide, et son procédé
La quatrième proposition du livre I est le premier cas d’égalité des triangles : deux côtés et l’angle qu’ils comprennent. Euclide la démontre en appliquant un triangle sur l’autre — en le déplaçant, donc, jusqu’à coïncidence. C’est exactement l’un des deux endroits où les Éléments s’effondrent : la première proposition emploie un résultat non établi, et celle-ci « fait usage de principes non codifiés en amont ».
Quels principes ? Trois au moins, tous tacites. Qu’il existe un procédé amenant un point sur un point et une demi-droite sur une demi-droite. Que ce procédé conserve les longueurs et les angles. Et que la figure déplacée reste « la même », c’est-à-dire que l’égalité obtenue au terme du mouvement vaut pour les figures de départ. Chacun de ces trois points est une hypothèse de géométrie, non une évidence physique.
2. La réponse de Hilbert : ne pas démontrer, poser
Le troisième groupe d’axiomes, celui de la congruence, se termine par l’énoncé suivant.
Axiome III.6. Soient
et
des triangles. Si
,
et
, alors
et
.
C’est la proposition IV d’Euclide, mot pour mot, érigée en axiome. Le geste est instructif : plutôt que d’axiomatiser le mouvement — ce qui obligerait à décrire un objet compliqué avant d’avoir la moindre géométrie —, Hilbert axiomatise ce que le mouvement était censé produire. La superposition disparaît des fondements, et le mot avec elle : il n’apparaît pas une seule fois dans Du Point à l’Espace.
3. Rendre le mot au mot
Une fois la distance construite, on peut enfin définir ce qu’Euclide employait sans le dire.
Définition. Une isométrie de l’espace est une application
telle que
pour tous points
et
. Deux figures sont superposables s’il existe une isométrie transformant l’une en l’autre.
Une seule condition, portant sur la seule distance. Tout le reste s’en déduit, et c’est ce qui rend la définition satisfaisante. Une isométrie est injective — si 
4. Pourquoi « superposable » se comporte bien
L’élève emploie « ce sont les mêmes triangles » comme si la relation était réflexive, symétrique et transitive. Elle l’est, et la raison n’est pas géométrique : c’est que les isométries forment un groupe.
- L’identité est une isométrie : la relation est réflexive.
- La réciproque d’une isométrie en est une : la relation est symétrique.
- La composée de deux isométries en est une : la relation est transitive.
Trois lignes, et l’on obtient une relation d’équivalence sur les figures de l’espace. Ses classes sont ce que l’on appelle les formes. Dire « le triangle équilatéral de côté 3 », au singulier, alors qu’il y en a une infinité dans l’espace, c’est désigner une classe — le même geste que pour les vecteurs, deux articles plus tôt. La surjectivité, qui manque à la liste ci-dessus, se démontre : une isométrie de l’espace euclidien est nécessairement bijective.
5. Ce que le mot recouvre, et ce qu’il ne recouvre pas
Les isométries de l’espace se classent en deux familles. Les déplacements, ou isométries directes : l’identité, les translations, les rotations autour d’un axe, et les vissages — une rotation composée avec une translation le long de son axe. Les antidéplacements, ou isométries indirectes : les réflexions par rapport à un plan, les réflexions glissées, et les composées d’une rotation et d’une réflexion. Toute isométrie de l’espace est de l’un de ces sept types, et la démonstration de ce fait est l’un des beaux théorèmes de la géométrie élémentaire.
Cette partition explique la faiblesse du mot « superposable » pris au sens du découpage et du déplacement matériel. Un objet ne peut être amené physiquement sur un autre que par un déplacement, jamais par un antidéplacement : déplacer un solide dans l’espace, c’est lui faire subir une suite continue de déplacements, et l’on ne franchit pas la frontière. Deux tétraèdres symétriques par rapport à un plan sont donc isométriques — tous leurs côtés et tous leurs angles sont égaux — et pourtant impossibles à superposer par un mouvement. Vos deux mains en fournissent l’exemple permanent.
Dans le plan, la difficulté est masquée : deux figures symétriques par rapport à une droite se superposent en retournant la feuille, c’est-à-dire en sortant du plan. L’intuition du « découpage » emprunte donc, sans le dire, une dimension supplémentaire. Dans l’espace, il n’y en a pas à emprunter.
6. Le cercle se referme
On peut démontrer, à partir des axiomes de Hilbert et de la distance qu’ils permettent de construire, que le groupe des isométries opère bien comme Euclide l’espérait : étant donné deux triangles vérifiant les hypothèses de l’axiome III.6, il existe une isométrie envoyant le premier sur le second. La superposition d’Euclide est donc légitime — mais comme théorème terminal, non comme outil de départ.
C’est, en une phrase, la leçon de méthode de toute la série. L’intuition d’Euclide était juste ; son ordre de démonstration ne l’était pas. Hilbert n’a rien invalidé du contenu : il a déplacé des énoncés d’un bout à l’autre de la chaîne déductive. Faire des mathématiques, c’est souvent cela — non pas découvrir que l’on avait tort, mais découvrir dans quel ordre on avait raison.
L’axiome III.6 et la critique des démonstrations d’Euclide occupent le chapitre 2 de Du Point à l’Espace, la construction de la distance le chapitre 3. Les isométries elles-mêmes n’y figurent pas : elles sont définies ici sur cette base.
