Deux triangles aux côtés parallèles, l'un plus grand que l'autre : on les dit homothétiques, on trace les droites qui joignent les sommets correspondants, elles se coupent en un point, et ce point est le centre. La figure convainc. Elle convainc encore quand les deux triangles ont la même taille, à ceci près que les … Lire la suite de Exercice : quand deux triangles sont-ils homothétiques ?
Géométrie
La réflexion définie par la médiatrice, et prouvée affine par la projection
Pour construire le symétrique d'un point M par rapport à une droite, on pique le compas en deux points de la droite, on trace deux arcs qui passent par M, et leur second point commun est le symétrique cherché. Pour en connaître les propriétés, on plie la feuille : les deux moitiés se recouvrent, donc … Lire la suite de La réflexion définie par la médiatrice, et prouvée affine par la projection
Translations et homothéties : le facteur |k| se démontre
Dans bien des cours, la démonstration tient en une ligne. L'homothétie de centre A et de rapport k envoie M sur M′ et N sur N′ ; le vecteur qui va de M′ à N′ vaut k fois celui qui va de M à N ; « donc » la distance M′N′ vaut |k| fois … Lire la suite de Translations et homothéties : le facteur |k| se démontre
D’où viennent x′ = ax + cy + s, et pourquoi ad – bc ne doit pas être nul
On rencontre, en fin de lycée ou en première année, des énoncés de ce genre : « Soit f l'application qui, au point de coordonnées (x, y), associe le point de coordonnées (2x + y + 2, x + 2y + 2). Montrer que f est une transformation affine. » La réponse attendue tient en … Lire la suite de D’où viennent x′ = ax + cy + s, et pourquoi ad – bc ne doit pas être nul
Barycentres : trois points suffisent
Un exercice classique dit : « L'application affine f envoie A sur A′, B sur B′ et C sur C′ ; construire l'image du point M. » L'élève trace des parallèles, reporte des longueurs, et trouve un point. Il ne se demande pas pourquoi trois points suffisaient, pourquoi il les faut non alignés, ni pourquoi … Lire la suite de Barycentres : trois points suffisent
Une transformation n’est pas un geste : ce qu’est une application affine
« Faites glisser le triangle de trois carreaux vers la droite. » « Faites-le tourner d'un quart de tour autour du point O. » C'est souvent ainsi que l'on présente les transformations du plan, et l'élève qui suit la consigne déplace un calque, ou la pointe de son crayon. Mais le plan ne bouge pas, … Lire la suite de Une transformation n’est pas un geste : ce qu’est une application affine
Le repère est un théorème, pas un décor
« On munit l'espace d'un repère orthonormé. » C'est sans doute la phrase la plus utilisée de toute la géométrie analytique, et elle passe trois choses sous silence : qu'il faut une distance pour graduer un axe, que la droite graduée est un théorème, et que l'orthonormalité est presque toujours une hypothèse inutile. Cet article … Lire la suite de Le repère est un théorème, pas un décor
D’où vient le nombre AB ?
Il est coutume d'écrire qu'un segment mesure par exemple cinq centimètres. D'où sort le nombre cinq ? La réponse « de la règle graduée » n'est pas vraiment satisfaisante, car elle suppose déjà acquis ce qu'il faudrait construire. Or, dans la liste des axiomes de Hilbert, il n'y a pas un seul nombre. Il y … Lire la suite de D’où vient le nombre AB ?
Pourquoi l’espace a-t-il exactement trois dimensions ?
La réponse habituelle est un haussement d'épaules : parce que le monde est ainsi fait. C'est une réponse de physicien, et elle ne dit rien du problème mathématique. Dans une géométrie construite sur des axiomes, le nombre trois n'est pas observé : il est déduit, et deux axiomes précis en répondent — l'un interdit de … Lire la suite de Pourquoi l’espace a-t-il exactement trois dimensions ?
Isométries de l’espace : ce que « superposable » veut dire
Le mot traîne dans l'enseignement depuis vingt-trois siècles sans avoir jamais été défini. Euclide s'en sert pour démontrer un cas d'égalité des triangles ; Hilbert, deux mille deux cents ans plus tard, refuse cette démonstration et pose à la place un axiome. Entre les deux, il y a tout ce que l'article veut expliciter : … Lire la suite de Isométries de l’espace : ce que « superposable » veut dire
