Le mot traîne dans l'enseignement depuis vingt-trois siècles sans avoir jamais été défini. Euclide s'en sert pour démontrer un cas d'égalité des triangles ; Hilbert, deux mille deux cents ans plus tard, refuse cette démonstration et pose à la place un axiome. Entre les deux, il y a tout ce que l'article veut expliciter : … Lire la suite de Isométries de l’espace : ce que « superposable » veut dire
Géométrie
Le théorème des trois perpendiculaires
C'est l'outil qui permet de calculer une distance dans l'espace sans poser un seul repère, et c'est aussi celui qui justifie l'apothème d'une pyramide, objet que le collège manipule sans jamais dire de quel droit. Son énoncé tient en une ligne, sa démonstration en trois, et il repose entièrement sur la distinction posée dans l'article … Lire la suite de Le théorème des trois perpendiculaires
Perpendiculaire n’est pas orthogonal
Dans le plan, les deux mots sont interchangeables, et l'enseignement s'en accommode depuis toujours. Dans l'espace, ils cessent de désigner la même chose, et l'un des deux n'apparaît même pas dans l'ouvrage dont cette série est tirée. Ce n'est pas un oubli : la définition axiomatique de la perpendicularité contient une condition que l'autre notion … Lire la suite de Perpendiculaire n’est pas orthogonal
Le produit scalaire : d’où vient la formule ?
Trois expressions circulent, données comme équivalentes : le produit des longueurs par le cosinus de l'angle, la somme des produits des coordonnées, et le produit d'une longueur par la mesure algébrique d'un projeté. Aucune des trois n'est présentée comme la définition, et chacune sert à démontrer les deux autres. Il y a là un cercle, … Lire la suite de Le produit scalaire : d’où vient la formule ?
Vecteurs de l’espace : la définition scolaire et ce qu’elle cache
« Un vecteur est un segment orienté. » La phrase ouvre le chapitre dans presque tous les manuels, et elle est fausse dès la page suivante — celle où l'on écrit que deux segments orientés différents peuvent être le même vecteur. Deux constructions correctes existent pour réparer cela. Elles ne se ressemblent pas, elles ne … Lire la suite de Vecteurs de l’espace : la définition scolaire et ce qu’elle cache
Trois parallélismes, et non un seul
Le même mot désigne trois relations : entre deux droites, entre une droite et un plan, entre deux plans. L'usage scolaire les traite comme une seule notion déclinée trois fois, et c'est là que naissent la plupart des raisonnements faux du chapitre. Deux de ces trois relations possèdent une propriété d'unicité ; la troisième n'en … Lire la suite de Trois parallélismes, et non un seul
Corrigé, et le théorème du toit
Huit configurations, et une seule qui ne porte pas de nom. Le corrigé établit d'abord la liste et montre qu'elle est complète ; il répond ensuite à la question qui fait mal, celle du parallélisme qu'on ne peut pas définir par l'absence de point commun. Il se termine sur le théorème que la conjecture annonçait, … Lire la suite de Corrigé, et le théorème du toit
Exercice : positions relatives, huit configurations
Deux droites, une droite et un plan, deux plans : trois couples d'objets, et pour chacun un petit nombre de positions possibles. L'exercice qui suit demande de les énumérer toutes, puis de dire, pour chacune, ce que la donnée des deux objets détermine et ce qu'elle laisse libre. Le compte tombe sur huit, et la … Lire la suite de Exercice : positions relatives, huit configurations
Droites non coplanaires : la première surprise de l’espace
Depuis le collège, l'élève tient une alternative pour acquise : deux droites sont sécantes, ou bien elles sont parallèles. Il n'y a pas de troisième terme, et de fait il n'y en a pas — dans le plan. Montrez-lui alors, sur un cube, l'arête du bas et l'arête verticale du coin opposé. Elles ne se … Lire la suite de Droites non coplanaires : la première surprise de l’espace
Du plan à l’espace : ce que les axiomes doivent ajouter
« L'espace, c'est le plan avec une dimension de plus. » La formule est commode, et elle ne dit rien de ce qui change vraiment. Passer du plan à l'espace ne consiste pas à ajouter une lettre dans un repère : il faut ajouter des axiomes. Cinq exactement, dans le seul groupe d'incidence, et chacun … Lire la suite de Du plan à l’espace : ce que les axiomes doivent ajouter
