Corrigé, et le théorème du toit

Huit configurations, et une seule qui ne porte pas de nom. Le corrigé établit d’abord la liste et montre qu’elle est complète ; il répond ensuite à la question qui fait mal, celle du parallélisme qu’on ne peut pas définir par l’absence de point commun. Il se termine sur le théorème que la conjecture annonçait, celui que tout élève emploie pour dessiner une section et que le programme lui fait admettre.

Cet article corrige l’exercice précédent de la série Du point à l’espace, Positions relatives, huit configurations. Les axiomes d’incidence auxquels il renvoie sont ceux des cinq groupes de Hilbert, et la proposition sur l’intersection de deux plans est établie dans le premier article de la série.

1. Les huit configurations, et pourquoi la liste est close

Deux droites distinctes. Ou bien un plan les contient toutes deux, ou bien aucun. Dans le premier cas, leur intersection est vide — elles sont strictement parallèles — ou réduite à un point : elle ne peut contenir deux points distincts, faute de quoi l’axiome I.2 les rendrait égales. Dans le second cas, elles sont non coplanaires. Trois positions.

Une droite et un plan. Si $\alpha\cap\mathcal{D}$ contient deux points distincts $A$ et $B$ , alors l’axiome I.5 donne $(AB)\subseteq\alpha$ et l’axiome I.2 donne $\mathcal{D}=(AB)$ : la droite est contenue dans le plan. Sinon l’intersection est vide, ou réduite à un point. Trois positions.

Deux plans distincts. C’est la proposition démontrée dans le premier article de la série : leur intersection est vide, ou c’est une droite. Elle ne peut être un point, l’axiome I.6 l’interdit ; et elle ne peut être plus grande qu’une droite, l’axiome I.4 rendrait alors les deux plans égaux. Deux positions.

Trois, trois et deux : huit configurations. Chacune des trois listes est close parce qu’elle épuise les cas d’une disjonction — l’intersection a zéro, un, ou au moins deux points — et parce qu’un axiome tranche le dernier cas. Rien n’y est laissé à l’évidence.

2. Ce que chaque configuration détermine

Configuration	Intersection	Plan déterminé
Deux droites sécantes	un point	un plan, et un seul
Deux droites strictement parallèles	vide	un plan, et un seul
Deux droites non coplanaires	vide	aucun
Droite contenue dans un plan	la droite	le plan donné, rien de nouveau
Droite et plan strictement parallèles	vide	aucun
Droite et plan sécants	un point	aucun
Deux plans strictement parallèles	vide	aucun
Deux plans sécants	une droite	aucun

Ce que la donnée de deux objets distincts fournit, configuration par configuration.

Deux lignes seulement fabriquent un plan neuf, et ce sont les deux premières. C’est peu, et cela explique la difficulté propre aux exercices d’espace : l’outil le plus employé de la géométrie plane — « soit le plan défini par ces deux droites » — n’est disponible que dans deux cas sur huit.

3. Quatre intersections vides, trois parallélismes

Le tableau porte quatre lignes d’intersection vide : deux droites strictement parallèles, deux droites non coplanaires, une droite et un plan strictement parallèles, deux plans strictement parallèles. Trois de ces quatre situations s’appellent parallélisme. La quatrième, celle des droites non coplanaires, ne s’appelle pas ainsi.

La raison tient au premier mot de la définition : deux droites coplanaires sont parallèles si elles sont égales ou sans point commun. Deux droites non coplanaires sont sans point commun, mais elles ne remplissent pas la condition préalable. Elles ne sont donc ni parallèles ni sécantes : elles sont hors de l’alternative.

Une précision mérite d’être relevée, parce qu’elle est contre-intuitive et qu’elle ferme la question. Pour une droite et un plan, ou pour deux plans, « sans point commun » suffit à définir le parallélisme : aucune condition de coplanarité n’y figure, et pour cause, elle n’aurait pas de sens. Le défaut est donc propre au couple droite-droite, et c’est là — et là seulement — que la formule « elles ne se coupent pas, donc elles sont parallèles » est fausse.

4. Le plan unique de la question 4

Proposition. Soient $\mathcal{D}_{1}$ et $\mathcal{D}_{2}$ deux droites non coplanaires. Il existe un unique plan contenant $\mathcal{D}_{1}$ et parallèle à $\mathcal{D}_{2}$ .

Existence. Soit $A$ un point de $\mathcal{D}_{1}$ . Ce point n’est pas sur $\mathcal{D}_{2}$ , sinon les deux droites se couperaient et seraient coplanaires. Il existe donc un unique plan $\gamma$ contenant $A$ et $\mathcal{D}_{2}$ . Dans ce plan, l’axiome des parallèles fournit une unique droite $\mathcal{G}$ passant par $A$ et parallèle à $\mathcal{D}_{2}$ .

Les droites $\mathcal{D}_{1}$ et $\mathcal{G}$ sont distinctes : sinon $\mathcal{D}_{1}$ serait contenue dans $\gamma$ , qui contient déjà $\mathcal{D}_{2}$ , et les deux droites seraient coplanaires. Elles sont donc sécantes en $A$ , et déterminent un unique plan $\beta$ .

Montrons que $\beta\cap\mathcal{D}_{2}=\emptyset$ . Les plans $\beta$ et $\gamma$ sont distincts, puisque $\mathcal{D}_{1}\subseteq\beta$ et $\mathcal{D}_{1}\not\subseteq\gamma$ ; leur intersection est donc une droite. Or elle contient $\mathcal{G}$ , qui est incluse dans les deux : cette intersection est $\mathcal{G}$ . Si un point $M$ appartenait à $\beta\cap\mathcal{D}_{2}$ , il appartiendrait à $\beta$ et à $\gamma$ , donc à $\mathcal{G}$ , donc à $\mathcal{G}\cap\mathcal{D}_{2}$ , qui est vide. Le plan $\beta$ contient $\mathcal{D}_{1}$ et il est parallèle à $\mathcal{D}_{2}$ .

Unicité. Soit $\beta^{\prime}$ un plan contenant $\mathcal{D}_{1}$ et parallèle à $\mathcal{D}_{2}$ . La droite $\mathcal{D}_{2}$ n’est pas contenue dans $\beta^{\prime}$ , sinon les deux droites y seraient coplanaires ; donc $\beta^{\prime}\cap\mathcal{D}_{2}=\emptyset$ . Les plans $\beta^{\prime}$ et $\gamma$ sont distincts et ont $A$ en commun : leur intersection est une droite $\mathcal{G}^{\prime}$ passant par $A$ . Cette droite est contenue dans $\gamma$ et ne rencontre pas $\mathcal{D}_{2}$ ; elle lui est donc parallèle, et l’unicité de la parallèle menée par $A$ dans $\gamma$ donne $\mathcal{G}^{\prime}=\mathcal{G}$ . Ainsi $\beta^{\prime}$ contient les droites sécantes $\mathcal{D}_{1}$ et $\mathcal{G}$ , qui déterminent un unique plan : $\beta^{\prime}=\beta$ . $\quad\Box$

5. Le théorème du toit

La conjecture de la question 5 est vraie, et elle porte un nom de charpentier.

Théorème du toit. Soient $\alpha$ et $\beta$ deux plans sécants, d’intersection la droite $\Delta$ . Si une droite $\mathcal{D}$ de $\alpha$ et une droite $\mathcal{D}^{\prime}$ de $\beta$ sont parallèles, alors $\Delta$ est parallèle à $\mathcal{D}$ et à $\mathcal{D}^{\prime}$ .

Deux plans sécants suivant une droite Δ ; chacun contient une droite, et ces deux droites sont parallèles entre elles et parallèles à Δ. — Le toit : les plans α et β se coupent suivant Δ, la droite 𝒟 de α est parallèle à la droite 𝒟′ de β, et la ligne de faîte Δ leur est parallèle.

Preuve. Écartons d’abord deux cas sans mystère. Si $\mathcal{D}=\mathcal{D}^{\prime}$ , cette droite est contenue dans les deux plans, donc dans $\Delta$ , donc égale à $\Delta$ , et la conclusion est acquise. Si $\mathcal{D}$ est contenue dans $\beta$ , le même argument donne $\mathcal{D}=\Delta$ . Supposons donc les deux droites distinctes et $\mathcal{D}$ non contenue dans $\beta$ .

Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}^{\prime}$ étant parallèles et distinctes, elles sont coplanaires et disjointes ; notons $\pi$ le plan qui les contient. Les plans $\pi$ et $\beta$ sont distincts, puisque $\mathcal{D}\subseteq\pi$ et $\mathcal{D}\not\subseteq\beta$ . Leur intersection est donc une droite, et elle contient $\mathcal{D}^{\prime}$ , incluse dans les deux : cette intersection est exactement $\mathcal{D}^{\prime}$ .

Les droites $\Delta$ et $\mathcal{D}$ sont toutes deux contenues dans $\alpha$ : elles sont coplanaires. Supposons-les sécantes en un point $M$ . Alors $M$ appartient à $\Delta$ , donc à $\beta$ ; et $M$ appartient à $\mathcal{D}$ , donc à $\pi$ . Par conséquent $M\in\beta\cap\pi=\mathcal{D}^{\prime}$ , d’où $M\in\mathcal{D}\cap\mathcal{D}^{\prime}$ : une contradiction, ces deux droites étant disjointes.

Les droites $\Delta$ et $\mathcal{D}$ sont donc coplanaires et sans point commun : elles sont parallèles. Le même raisonnement, mené dans $\beta$ , donne $\Delta\parallel\mathcal{D}^{\prime}$ . $\quad\Box$

6. Ce que le théorème achète

Sa démonstration n’emploie que deux choses : deux plans sécants se coupent selon une droite, et deux droites sécantes déterminent un plan. Le premier point est l’axiome I.6, le second un théorème du premier article. Rien d’autre. Le théorème du toit est donc à la portée d’un élève de terminale dès la troisième semaine, et le programme lui demande pourtant de l’admettre.

Or il ne s’agit pas d’un ornement. C’est lui qui permet de tracer la section d’un solide par un plan, l’exercice le plus courant du chapitre : dès qu’un plan de coupe rencontre deux faces parallèles d’un cube, les deux traces sont parallèles, et c’est le théorème du toit qui le dit. Sans lui, la figure ne se construit pas ; avec lui admis, elle se construit sans qu’on sache pourquoi.

Un dernier mot sur le nom. Le « toit » est la figure : deux versants sécants suivant la ligne de faîte, et les deux bords inférieurs parallèles entre eux. Le théorème dit que le faîte leur est parallèle — ce qu’aucun charpentier n’a jamais eu besoin qu’on lui démontre, et ce qui, en mathématiques, se démontre tout de même.

Trois formes de parallélisme ont été employées dans ce corrigé sans qu’on les distingue : entre deux droites, entre une droite et un plan, entre deux plans. Elles ne se ressemblent que par le nom. L’article Trois parallélismes, et non un seul montre en quoi elles diffèrent, et pourquoi l’une d’elles n’a même pas la propriété d’unicité qu’on lui prête.

Le parallélisme dans l’espace euclidien, avec les propositions employées ici et leurs démonstrations complètes, occupe l’annexe A de Du Point à l’Espace.

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Corrigé, et le théorème du toit

1. Les huit configurations, et pourquoi la liste est close

2. Ce que chaque configuration détermine

3. Quatre intersections vides, trois parallélismes

4. Le plan unique de la question 4

5. Le théorème du toit

6. Ce que le théorème achète

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1. Les huit configurations, et pourquoi la liste est close

2. Ce que chaque configuration détermine

3. Quatre intersections vides, trois parallélismes

4. Le plan unique de la question 4

5. Le théorème du toit

6. Ce que le théorème achète

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