Trois parallélismes, et non un seul

Le même mot désigne trois relations : entre deux droites, entre une droite et un plan, entre deux plans. L’usage scolaire les traite comme une seule notion déclinée trois fois, et c’est là que naissent la plupart des raisonnements faux du chapitre. Deux de ces trois relations possèdent une propriété d’unicité ; la troisième n’en a aucune. Deux sont des relations d’équivalence ; la troisième ne peut pas l’être, et pas seulement parce qu’elle ne l’est pas.

L’article poursuit la série Du point à l’espace. Il s’appuie sur les huit positions relatives établies dans l’exercice et son corrigé, et sur le théorème du toit qui y était démontré.

1. Trois définitions, dont une porte une condition

Deux droites coplanaires sont parallèles si elles sont égales ou sans point commun.

Une droite et un plan sont parallèles si la droite est contenue dans le plan ou si les deux sont sans point commun.

Deux plans sont parallèles s’ils sont égaux ou sans point commun.

Une seule des trois porte une condition préalable, et c’est la première. Elle est indispensable : sans elle, deux droites non coplanaires seraient déclarées parallèles, puisqu’elles n’ont aucun point commun. Les deux autres définitions n’en ont pas besoin, et c’est pourquoi la formule « pas de point commun, donc parallèles », fausse pour deux droites, est correcte pour une droite et un plan comme pour deux plans.

2. L’unicité : deux fois oui, une fois non

Dans le plan, l’axiome des parallèles donne l’unicité. Dans l’espace, elle survit pour deux des trois relations.

Par un point extérieur à une droite passe une unique droite parallèle. Soit $A\notin\mathcal{D}$ . Toute droite parallèle à $\mathcal{D}$ passant par $A$ lui est coplanaire par définition, donc contenue dans le plan $\mathcal{P}(A,\mathcal{D})$ , qui est unique. L’axiome des parallèles appliqué dans ce plan conclut. L’unicité vaut donc dans l’espace entier, et ce n’est pas une évidence : c’est la condition de coplanarité de la définition qui l’apporte.

Par un point extérieur à un plan passe un unique plan parallèle. C’est une proposition de l’annexe A de Du Point à l’Espace, l’analogue exact de l’axiome des parallèles, un cran plus haut.

Par un point extérieur à un plan passe une infinité de droites parallèles à ce plan. Et l’énoncé exact est plus précis encore.

Proposition. Soient $\alpha$ un plan, $A$ un point n’appartenant pas à $\alpha$ , et $\beta$ l’unique plan passant par $A$ et parallèle à $\alpha$ . Les droites passant par $A$ et parallèles à $\alpha$ sont exactement les droites de $\beta$ passant par $A$ .

Preuve. Une droite $\mathcal{D}$ de $\beta$ vérifie $\mathcal{D}\cap\alpha\subseteq\beta\cap\alpha=\emptyset$ : elle est parallèle à $\alpha$ . Réciproquement, soit $\mathcal{D}$ une droite passant par $A$ et parallèle à $\alpha$ , et supposons $\mathcal{D}\not\subseteq\beta$ . Choisissons un point $P$ de $\alpha$ ; il n’est pas sur $\mathcal{D}$ , qui ne rencontre pas $\alpha$ . Posons $\pi=\mathcal{P}(\mathcal{D},P)$ .

Le plan $\pi$ est distinct de $\alpha$ , qui ne contient pas $\mathcal{D}$ , et distinct de $\beta$ , qui ne la contient pas non plus. Leurs intersections avec $\pi$ sont donc deux droites : $\ell=\pi\cap\alpha$ , qui passe par $P$ , et $m=\pi\cap\beta$ , qui passe par $A$ . Dans le plan $\pi$ , ces deux droites vérifient $\ell\cap m\subseteq\alpha\cap\beta=\emptyset$ : elles sont parallèles. Et $\mathcal{D}$ , contenue dans $\pi$ , ne rencontre pas $\ell$ puisqu’elle ne rencontre pas $\alpha$ : elle est parallèle à $\ell$ elle aussi. Deux droites de $\pi$ passent donc par $A$ et sont parallèles à $\ell$ : ce sont la même, d’où $\mathcal{D}=m\subseteq\beta$ , contre l’hypothèse. $\quad\Box$

Les droites parallèles à $\alpha$ menées par $A$ ne sont donc pas seulement nombreuses : elles remplissent un plan. L’unicité n’est pas perdue, elle a changé d’objet — ce qui est unique n’est pas la droite, c’est le plan qui les contient toutes.

3. Deux implications fausses, et un contre-exemple pour chacune

Plaçons-nous dans un cube $ABCDEFGH$ , la face $ABCD$ en bas, $E$ au-dessus de $A$ , $F$ au-dessus de $B$ , $G$ au-dessus de $C$ , $H$ au-dessus de $D$ .

Deux droites parallèles à un même plan ne sont pas parallèles entre elles. Les droites $(EF)$ et $(FG)$ sont toutes deux contenues dans le plan $(EFGH)$ , parallèle au plan $(ABCD)$ : elles sont donc l’une et l’autre parallèles à $(ABCD)$ . Elles sont pourtant sécantes en $F$ . Le contre-exemple tient en une ligne, et l’erreur qu’il réfute reste l’une des plus fréquentes des copies.

Cube ABCDEFGH : les droites (EF) et (FG) sont toutes deux parallèles au plan (ABCD), et pourtant sécantes en F. — Deux droites parallèles à un même plan : (EF) et (FG) sont l’une et l’autre parallèles à (ABCD), et elles se coupent en F.

Deux plans parallèles à une même droite ne sont pas parallèles entre eux. La droite $(AB)$ est parallèle au plan $(EFGH)$ , qu’elle ne rencontre pas. Elle est aussi parallèle au plan $(DCGH)$ : elle est parallèle à la droite $(DC)$ , contenue dans ce plan, et $A$ n’y appartient pas. Or $(EFGH)$ et $(DCGH)$ sont sécants suivant $(GH)$ .

Cube ABCDEFGH : la droite (AB) est parallèle aux plans (EFGH) et (DCGH), et pourtant ces deux plans se coupent suivant la droite (GH). — Deux plans parallèles à une même droite : (EFGH) et (DCGH) sont l’un et l’autre parallèles à (AB), et ils se coupent suivant (GH).

En revanche, trois énoncés de transitivité sont vrais, et il faut les distinguer des précédents : deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles ; deux plans parallèles à un même troisième sont parallèles ; une droite parallèle à un plan est parallèle à tout plan parallèle à celui-ci. La ligne de partage est nette : la transitivité vaut quand l’objet intermédiaire est de même nature que celui qu’on veut atteindre. Les deux implications fausses ci-dessus changent de nature en cours de route.

4. Deux relations d’équivalence, et une relation qui ne peut pas l’être

Le parallélisme des droites est réflexif — c’est le rôle du mot « égales » dans la définition —, symétrique, transitif : c’est une relation d’équivalence sur l’ensemble des droites. Ses classes portent un nom, les directions. Le parallélisme des plans en est une autre, sur l’ensemble des plans, et ses classes s’appellent aussi des directions.

Le troisième parallélisme, lui, n’est pas une relation d’équivalence, et pour une raison plus radicale que l’échec d’une de ses propriétés : il ne relie pas les éléments d’un même ensemble. Une relation d’équivalence est définie sur un ensemble, et compare deux objets de même nature ; celle-ci a une droite à gauche et un plan à droite. La réflexivité demanderait de comparer une droite à elle-même, la transitivité d’enchaîner trois objets de même espèce : ces deux propriétés ne sont pas fausses ici, elles sont indéfinissables.

Ce que cette relation exprime apparaît en clair dès qu’on passe au langage vectoriel, celui de l’annexe A de l’ouvrage : une droite est parallèle à un plan lorsque sa direction, qui est une droite vectorielle, est incluse dans la direction du plan, qui est un plan vectoriel. Ce n’est pas une égalité entre objets de même espèce, c’est une inclusion entre objets de dimensions différentes — d’où l’absence d’unicité constatée plus haut : une droite vectorielle a une infinité de façons de se loger dans un plan vectoriel.

5. Le critère qui, lui, fonctionne

Critère. Une droite $\mathcal{D}$ non contenue dans un plan $\alpha$ est parallèle à $\alpha$ si et seulement s’il existe une droite $\mathcal{D}^{\prime}$ contenue dans $\alpha$ et parallèle à $\mathcal{D}$ .

Condition suffisante. Soit $\mathcal{D}^{\prime}\subseteq\alpha$ parallèle à $\mathcal{D}$ . Ces deux droites sont distinctes, faute de quoi $\mathcal{D}$ serait dans $\alpha$ ; elles sont donc disjointes et coplanaires, dans un plan $\pi$ . Comme $\mathcal{D}\subseteq\pi$ et $\mathcal{D}\not\subseteq\alpha$ , les plans $\pi$ et $\alpha$ sont distincts, et leur intersection est une droite contenant $\mathcal{D}^{\prime}$ : c’est $\mathcal{D}^{\prime}$ . Un point de $\mathcal{D}\cap\alpha$ serait alors dans $\pi\cap\alpha=\mathcal{D}^{\prime}$ , donc dans $\mathcal{D}\cap\mathcal{D}^{\prime}=\emptyset$ .

Condition nécessaire. Supposons $\mathcal{D}$ parallèle à $\alpha$ et choisissons $P$ dans $\alpha$ . Le plan $\pi=\mathcal{P}(\mathcal{D},P)$ coupe $\alpha$ suivant une droite $\mathcal{D}^{\prime}$ , qui ne rencontre pas $\mathcal{D}$ puisque $\mathcal{D}$ ne rencontre pas $\alpha$ ; toutes deux sont dans $\pi$ , donc parallèles. $\quad\Box$

On reconnaîtra dans la première moitié la charpente exacte du théorème du toit : deux plans distincts se coupent suivant une droite, cette droite est identifiée parce qu’elle contient une droite déjà connue, et le point supposé commun tombe dans une intersection vide. C’est le raisonnement le plus rentable du chapitre ; il sert partout.

Le critère dit enfin pourquoi la relation droite-plan est si différente des deux autres : pour établir qu’une droite est parallèle à un plan, il faut exhiber une droite du plan, et ce choix n’est jamais unique. Deux droites parallèles entre elles se reconnaissent ; une droite parallèle à un plan se démontre, en produisant un témoin.

Les trois parallélismes, leurs propositions et leur lecture vectorielle occupent l’annexe A de Du Point à l’Espace.

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Trois parallélismes, et non un seul

1. Trois définitions, dont une porte une condition

2. L’unicité : deux fois oui, une fois non

3. Deux implications fausses, et un contre-exemple pour chacune

4. Deux relations d’équivalence, et une relation qui ne peut pas l’être

5. Le critère qui, lui, fonctionne

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1. Trois définitions, dont une porte une condition

2. L’unicité : deux fois oui, une fois non

3. Deux implications fausses, et un contre-exemple pour chacune

4. Deux relations d’équivalence, et une relation qui ne peut pas l’être

5. Le critère qui, lui, fonctionne

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