Exercice : cinq relations, lesquelles sont des équivalences ?

/ Christian Nguembou Tagne

Vérifier qu’une relation est une équivalence passe pour une formalité : on récite trois propriétés, on coche trois cases. L’exercice qui suit propose cinq relations dont deux seulement sont des équivalences, une est une relation d’ordre, et deux échouent chacune sur une propriété différente. Il se termine sur une démonstration fausse que l’on rencontre régulièrement dans les copies, et qui a le mérite d’être parfaitement convaincante tant qu’on ne la regarde pas de près.

L’article poursuit la série Aux fondations. Il met à l’épreuve les notions exposées dans Relations d’équivalence et passage au quotient, et il emploie le vocabulaire des relations binaires fixé dans Fonction, application, correspondance. Sa rédaction demande la même rigueur que l’exercice de logique Cinq raisonnements, une seule démonstration correcte.

1. Les cinq relations

Chacune est définie sur un ensemble précis, et l’ensemble compte autant que la formule.

(a) Sur \mathbb{Z} : x\,\mathcal{R}_{a}\,y lorsque x-y est pair.

(b) Sur \mathbb{R} : x\,\mathcal{R}_{b}\,y lorsque |x-y|\leq 1.

(c) Sur \mathbb{R} : x\,\mathcal{R}_{c}\,y lorsque x-y\in\mathbb{Z}.

(d) Sur l’ensemble \mathfrak{D} des droites d’un plan : \mathcal{D}_{1}\,\mathcal{R}_{d}\,\mathcal{D}_{2} lorsque \mathcal{D}_{1} et \mathcal{D}_{2} sont parallèles, c’est-à-dire égales ou sans point commun.

(e) Sur \mathbb{N}^{\ast} : x\,\mathcal{R}_{e}\,y lorsque x divise y.

2. Les questions

  1. Pour chacune des cinq relations, dire si elle est réflexive, symétrique, antisymétrique, transitive. Chaque réponse positive doit être démontrée ; chaque réponse négative doit être appuyée sur un contre-exemple explicite.
  2. En déduire lesquelles sont des relations d’équivalence et lesquelles sont des relations d’ordre. Une relation peut-elle être les deux à la fois ? Si oui, laquelle, et à quelle condition sur l’ensemble ?
  3. Pour chaque relation d’équivalence trouvée, décrire l’ensemble quotient : combien de classes, et comment reconnaître un système de représentants, c’est-à-dire une famille contenant exactement un élément de chaque classe.
  4. Montrer que si une relation R sur X est réflexive, alors son domaine de définition est X tout entier. Qu’en déduit-on pour une relation d’équivalence ? La réciproque est-elle vraie ?
  5. Une relation d’équivalence sur X peut-elle être en même temps une application de X vers X ? Si oui, les déterminer toutes.

3. Une démonstration fausse à corriger

Voici un raisonnement que l’on rencontre régulièrement, et qui conclut que la réflexivité est superflue dans la définition d’une relation d’équivalence.

« Soit R une relation symétrique et transitive sur X. Soit x\in X et soit y tel que xRy. Par symétrie, yRx. Par transitivité appliquée à xRy et yRx, on obtient xRx. Donc R est réflexive, et la troisième condition de la définition est conséquence des deux autres. »

  1. Localiser l’erreur — non pas la nommer vaguement, mais désigner la phrase exacte où le raisonnement cesse d’être valide, et dire quelle règle de déduction y est employée indûment. Produire ensuite une relation symétrique et transitive qui n’est pas réflexive.
  2. Corriger l’énoncé : sous quelle hypothèse supplémentaire, portant sur le domaine de définition, l’argument devient-il correct ?

4. Trois indications, pour ne pas perdre de temps

  • Pour (c), remarquer que \mathbb{Z} est stable par opposé et par somme : c’est tout ce dont les trois vérifications ont besoin, et l’exemple (a) en est un cas particulier déguisé.
  • Pour (b), deux des trois propriétés sont immédiates ; la troisième tombe avec trois nombres bien choisis, dont l’écart total dépasse l’écart autorisé.
  • Pour (d), la définition retenue — égales ou sans point commun — n’est pas anodine : c’est elle qui rend la relation réflexive, et c’est elle qui rend la transitivité vraie dans un plan. Se demander ce qu’il en serait dans l’espace, et à quelle condition la définition résiste.

Cette dernière question n’est pas rhétorique : dans l’espace, la définition du parallélisme exige que les deux droites soient coplanaires, faute de quoi la transitivité s’effondrerait. C’est le sujet de Trois parallélismes, et non un seul, dans la série Du point à l’espace.

5. Ce que l’exercice prépare

Les questions 1 à 3 sont de la vérification ordinaire, et il faut la faire une fois dans sa vie avec la rigueur qu’elle mérite. Les questions 4 à 7, elles, portent sur un point que l’enseignement laisse toujours dans l’ombre : pourquoi la définition d’une relation d’équivalence comporte trois conditions et non deux. La réponse tient à un quantificateur, et la démonstration fausse du paragraphe 3 est le meilleur moyen de la faire apparaître.

Le corrigé paraîtra dans l’article « Corrigé, et les relations d’ordre », qui traitera au passage la relation (e) pour elle-même : la divisibilité est l’exemple le plus instructif d’un ordre où deux éléments peuvent n’être pas comparables.

La réflexivité, la symétrie, l’antisymétrie et la transitivité, avec leurs expressions en langage formel, ainsi que les relations d’équivalence et d’ordre, sont traitées à la section 3.2 de Discours formel sur les mathématiques pour le secondaire, Volume I, dont les exercices de fin de chapitre ont inspiré les questions 4 et 5.

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