Relations d’équivalence et passage au quotient

Une fraction n’est pas un nombre écrit avec une barre : trois sixièmes et un demi sont le même objet, et personne n’explique jamais pourquoi on a le droit de les confondre. Un vecteur n’est pas une flèche : deux flèches de même direction, même sens et même longueur sont le même vecteur, et là non plus on n’explique rien. Ces deux « on a le droit » reposent sur une seule construction, dont on se sert au lycée tous les jours sans jamais la nommer.

L’article poursuit la série Aux fondations. Il s’appuie sur les relations binaires définies dans Fonction, application, correspondance, et sur deux des axiomes recensés dans Les axiomes de Zermelo-Fraenkel : celui des parties et celui de compréhension.

1. Trois propriétés et ce qu’elles remplacent

Définition. Une relation binaire $R$ sur un ensemble $X$ est une relation d’équivalence si elle est réflexive ( $xRx$ pour tout $x$ ), symétrique ( $xRy$ entraîne $yRx$ ) et transitive ( $xRy$ et $yRz$ entraînent $xRz$ ).

Ces trois propriétés sont exactement celles de l’égalité, et c’est tout leur propos : une relation d’équivalence est une égalité à un point de vue près. Elle déclare indiscernables des objets qui ne sont pas identiques, et la construction qui suit consiste à prendre cette déclaration au sérieux en fabriquant de nouveaux objets, pour lesquels l’indiscernabilité devient une vraie égalité.

Aucune des trois n’est superflue, et il faut se méfier d’un raisonnement séduisant qui prétend déduire la réflexivité des deux autres : de $xRy$ on tire $yRx$ par symétrie, puis $xRx$ par transitivité. L’argument suppose qu’il existe un $y$ en relation avec $x$ , ce que rien ne garantit — la relation vide sur un ensemble non vide est symétrique et transitive sans être réflexive. C’est un exemple que notre ouvrage sur les fondations des mathématiques donne, et il sert de garde-fou.

2. Les classes et les trois faits qui les gouvernent

Définition. Pour $x\in X$ , la classe d’équivalence de $x$ est la partie $R(x)=\{y\in X\mid xRy\}$ , aussi notée $[x]_{R}$ .

C’est un ensemble par compréhension, puisqu’on découpe dans $X$ . Trois propriétés en découlent, et la deuxième est la plus utile de toute la théorie.

Proposition. Soit $R$ une relation d’équivalence sur $X$ non vide, et $x,y\in X$ .

(1) $x\in R(x)$ . (2) $R(x)=R(y)$ si et seulement si $xRy$ . (3) $xRy$ est faux si et seulement si $R(x)\cap R(y)=\emptyset$ .

Preuve. (1) La réflexivité donne $xRx$ , c’est-à-dire $x\in R(x)$ .

(2) Si $R(x)=R(y)$ , alors $y\in R(y)=R(x)$ par (1), donc $xRy$ . Réciproquement, supposons $xRy$ et soit $z\in R(x)$ , c’est-à-dire $xRz$ . La symétrie donne $yRx$ , la transitivité appliquée à $yRx$ et $xRz$ donne $yRz$ , donc $z\in R(y)$ : ainsi $R(x)\subseteq R(y)$ . L’inclusion inverse s’obtient en échangeant les rôles de $x$ et $y$ , ce que la symétrie autorise.

Le point (3) se démontre par contraposée : si un $z$ appartient aux deux classes, alors $xRz$ et $yRz$ , d’où $xRy$ par symétrie et transitivité. $\quad\Box$

Autrement dit, deux classes sont égales ou disjointes ; il n’y a pas de troisième possibilité. C’est ce qui rend légitime de désigner une classe par n’importe lequel de ses éléments — on l’appelle alors un représentant —, et tout le reste en découle.

3. Le quotient est un ensemble, et il faut deux axiomes pour le dire

Définition. L’ensemble quotient de $X$ par $R$ est

$\displaystyle X/R=\bigl\{A\in\mathcal{P}(X)\ \bigm|\ (\exists x\in X)\ A=R(x)\bigr\}.$

L’écriture mérite qu’on s’y arrête, car elle est un modèle du genre. On voudrait dire « l’ensemble des classes » ; mais une collection décrite par une propriété n’est pas un ensemble, comme le paradoxe de Russell l’a établi. Il faut donc un ensemble dans lequel découper : les classes étant des parties de $X$ , elles vivent dans $\mathcal{P}(X)$ , que l’axiome des parties fournit, et l’axiome de compréhension achève le travail. Deux axiomes pour une notation d’une ligne — et sans eux, $\mathbb{Z}$ et $\mathbb{Q}$ ne seraient pas des ensembles.

On dispose alors d’une application $\pi:X\rightarrow X/R$ , $x\mapsto R(x)$ , qui envoie chaque élément sur sa classe. Elle est surjective par construction : toute classe est la classe d’au moins un élément, celui-là même qui la représente.

4. Une équivalence découpe, un découpage équivaut

L’ouvrage établit encore que $X=\bigcup X/R$ : tout élément appartient à sa classe, donc à la réunion des classes, et réciproquement chaque classe est une partie de $X$ . Avec le point (3) du paragraphe 2, on obtient la description complète :

Théorème. Les classes d’une relation d’équivalence sur $X$ sont non vides, deux à deux disjointes, et leur réunion est $X$ . Réciproquement, si une famille de parties non vides, deux à deux disjointes, a pour réunion $X$ , la relation « appartenir à la même partie » est une relation d’équivalence dont les classes sont exactement ces parties.

La réciproque se vérifie en trois lignes : la relation est réflexive parce que chaque élément est dans une partie, symétrique parce que « la même » l’est, transitive parce que deux parties qui se rencontrent sont égales. Se donner une relation d’équivalence ou se donner un découpage de $X$ en morceaux disjoints, c’est donc la même chose, dite deux fois. Voilà pourquoi la notion est partout : chaque fois qu’on trie des objets en catégories exclusives, on manipule un quotient.

5. Passer au quotient : le seul théorème à retenir

Reste la question qui décide de tout : quand peut-on définir quelque chose sur les classes ? La réponse est un théorème, et sa démonstration est plus courte que l’énoncé.

Théorème du passage au quotient. Soient $R$ une relation d’équivalence sur $X$ et $f:X\rightarrow Y$ une application compatible avec $R$ , c’est-à-dire telle que $xRy$ entraîne $f(x)=f(y)$ . Alors il existe une unique application $\overline{f}:X/R\rightarrow Y$ telle que $\overline{f}\circ\pi=f$ .

Preuve. Existence. Soit $C$ une classe ; elle est non vide, choisissons-y $x$ et posons $\overline{f}(C)=f(x)$ . Il faut vérifier que le résultat ne dépend pas du représentant : si $x'$ est un autre élément de $C$ , alors $R(x)=R(x')$ , donc $xRx'$ par le point (2), donc $f(x)=f(x')$ par compatibilité. L’écriture définit donc bien une application, et $\overline{f}(\pi(x))=f(x)$ par construction.

Unicité. Si $g$ et $h$ vérifient $g\circ\pi=h\circ\pi=f$ , alors pour toute classe $C=\pi(x)$ on a $g(C)=f(x)=h(C)$ . Elles coïncident donc partout, $\pi$ étant surjective. $\quad\Box$

Toute la difficulté tient dans une seule phrase de cette preuve, celle qui commence par « il faut vérifier ». C’est ce qu’on appelle la bonne définition, et c’est le seul endroit où l’on peut se tromper. La faute type consiste à définir sur les classes une quantité qui dépend du représentant : sur $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ , poser « la classe de $x$ a pour image $x$ » n’a aucun sens, puisque $x$ et $x+n$ ont la même classe et des images différentes. L’addition, elle, passe au quotient, et la vérification tient en une ligne.

6. Construction des nombres au moyen du quotient

La construction n’est pas une abstraction gratuite : c’est l’outil par lequel les ensembles de nombres sont bâtis, une fois $\mathbb{N}$ obtenu par les axiomes de Peano.

Les entiers relatifs. Sur $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ , on pose $(a_{1},b_{1})\sim(a_{2},b_{2})$ lorsque $a_{1}+b_{2}=b_{1}+a_{2}$ . Le couple $(a,b)$ représente la différence $a-b$ , qui n’existe pas encore ; la relation dit que deux couples représentent la même différence, et elle s’écrit sans soustraction, uniquement avec l’addition déjà disponible. C’est toute l’astuce. Alors $\mathbb{Z}=(\mathbb{N}\times\mathbb{N})/\sim$ .

Les rationnels. Sur $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^{\ast}$ , on pose $(a,b)R(c,d)$ lorsque $a\cdot d=b\cdot c$ . Même procédé : le couple représente le quotient $a/b$ , la relation dit l’égalité de deux quotients sans employer la division, et $\mathbb{Q}=(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^{\ast})/R$ . Trois sixièmes et un demi ne sont pas « égaux après simplification » : ce sont deux représentants de la même classe, donc un seul et même élément de $\mathbb{Q}$ . La question du lycée — pourquoi a-t-on le droit ? — reçoit ici sa réponse exacte.

Le même mécanisme gouverne les vecteurs de la géométrie élémentaire, où l’équipollence des bipoints est une relation d’équivalence dont les classes sont les vecteurs — une construction que l’article sur les vecteurs de l’espace compare à celle, toute différente, que retient Du Point à l’Espace.

7. Ce qu’on perd et pourquoi on l’accepte

Un quotient coûte quelque chose : on ne peut plus distinguer ce que la relation a déclaré indiscernable. C’est précisément le but, mais cela signifie qu’aucune propriété non compatible ne survit au passage. Le numérateur d’un rationnel n’existe pas ; seule existe la classe. Ce que l’on gagne en échange est considérable : une relation encombrante devient une égalité, et tous les théorèmes qui parlent d’égalité redeviennent utilisables.

Le prochain article du fil, « Exercice : cinq relations, lesquelles sont des équivalences ? », met ces vérifications à l’épreuve sur cinq exemples dont l’un seulement résiste à l’examen.

Les relations d’équivalence, les classes et l’ensemble quotient occupent la section 3.2 de Discours formel sur les mathématiques pour le secondaire, Volume I ; les constructions de $\mathbb{Z}$ et de $\mathbb{Q}$ par quotient sont menées en entier aux sections 3.5 et 3.6 du même chapitre.

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Relations d’équivalence et passage au quotient

1. Trois propriétés et ce qu’elles remplacent

2. Les classes et les trois faits qui les gouvernent

3. Le quotient est un ensemble, et il faut deux axiomes pour le dire

4. Une équivalence découpe, un découpage équivaut

5. Passer au quotient : le seul théorème à retenir

6. Construction des nombres au moyen du quotient

7. Ce qu’on perd et pourquoi on l’accepte

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1. Trois propriétés et ce qu’elles remplacent

2. Les classes et les trois faits qui les gouvernent

3. Le quotient est un ensemble, et il faut deux axiomes pour le dire

4. Une équivalence découpe, un découpage équivaut

5. Passer au quotient : le seul théorème à retenir

6. Construction des nombres au moyen du quotient

7. Ce qu’on perd et pourquoi on l’accepte

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