Suites adjacentes et segments emboîtés

L’article précédent de cette série s’achevait sur un théorème qui affirme qu’une limite existe sans en livrer la moindre décimale. Voici son complément opératoire : deux suites qui se referment l’une sur l’autre encadrent leur limite commune à chaque étape, et fournissent donc une valeur approchée assortie d’une majoration de l’erreur. C’est le passage de l’existence au calcul.

Cet article poursuit la série Tout tient à la limite. Il s’appuie sur le théorème de la limite monotone, exposé dans Toute suite croissante et majorée converge — mais vers quoi ?, et rejoint Les coupures de Dedekind.

1. Deux suites qui se referment

Définition. Deux suites réelles $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont dites adjacentes lorsque la première est croissante, la seconde décroissante, et que la différence $v_{n}-u_{n}$ tend vers $0$ .

Théorème. Deux suites adjacentes convergent, et vers la même limite $\ell$ . De plus, on a l’encadrement $u_{n}\leq\ell\leq v_{n}$ pour tout entier $n$ .

Preuve. Établissons d’abord que $u_{n}\leq v_{n}$ pour tout entier $n$ . La suite de terme général $w_{n}=v_{n}-u_{n}$ est décroissante, comme différence d’une suite décroissante et d’une suite croissante. Si l’un de ses termes était strictement négatif, disons $w_{p}=-\alpha$ avec $\alpha>0$ , alors on aurait $w_{n}\leq-\alpha$ pour tout entier $n\geq p$ , et la suite $(w_{n})$ ne pourrait pas tendre vers $0$ . Tous les termes sont donc positifs ou nuls.

Il en résulte $u_{n}\leq v_{n}\leq v_{0}$ pour tout entier $n$ : la suite $(u_{n})$ est croissante et majorée par $v_{0}$ , donc elle converge vers un réel $\ell$ . De même, $(v_{n})$ est décroissante et minorée par $u_{0}$ , donc elle converge vers un réel $\ell^{\prime}$ . Enfin $\ell^{\prime}-\ell$ est la limite de $v_{n}-u_{n}$ , qui vaut $0$ par hypothèse, d’où $\ell=\ell^{\prime}$ . L’encadrement vient de ce que $(u_{n})$ croît vers $\ell$ et que $(v_{n})$ décroît vers $\ell$ . $\quad\Box$

Toute la substance est dans la dernière phrase de l’énoncé. Le théorème de la limite monotone donnait $\ell$ sans rien de plus ; celui-ci donne à chaque rang un intervalle qui contient $\ell$ , et dont la longueur tend vers zéro. On sait donc non seulement que la limite existe, mais où elle se trouve, et à quelle précision.

2. La formulation par intervalles

Le même contenu s’énonce en termes d’intervalles, et cette forme est souvent la plus commode.

Principe des segments emboîtés. Soit $(I_{n})$ une suite d’intervalles fermés bornés, emboîtés au sens où $I_{n+1}\subset I_{n}$ pour tout entier $n$ , et dont la longueur tend vers $0$ . Alors l’intersection de tous les $I_{n}$ est réduite à un point.

En posant $I_{n}=[u_{n},v_{n}]$ , les deux énoncés se traduisent l’un dans l’autre sans effort. Trois hypothèses figurent ici, et chacune est indispensable.

Les intervalles doivent être fermés. Les intervalles ouverts $\left]0,\dfrac{1}{n}\right[$ sont emboîtés, de longueur tendant vers zéro, et leur intersection est vide : le point candidat, $0$ , n’appartient à aucun d’eux.

Ils doivent être bornés. Les demi-droites $[n,+\infty[$ sont fermées et emboîtées, et leur intersection est vide.

Et l’on travaille dans $\mathbb{R}$ . Dans $\mathbb{Q}$ , les intervalles rationnels délimités par les troncatures décimales de $\sqrt{2}$ sont fermés, bornés, emboîtés, de longueur tendant vers zéro, et leur intersection est vide. Une fois de plus, l’énoncé repère exactement les trous de la droite rationnelle.

3. La dichotomie, ou l’encadrement au travail

Cherchons à approcher $\sqrt{2}$ . Posons $u_{0}=1$ et $v_{0}=2$ , puis, à chaque étape, calculons le milieu $m$ de l’intervalle courant et remplaçons cet intervalle par sa moitié gauche ou sa moitié droite, selon que $m^{2}$ dépasse $2$ ou non.

Les deux suites obtenues sont adjacentes : la première croît, la seconde décroît, et leur écart vaut $\dfrac{1}{2^{n}}$ , qui tend vers $0$ . Elles convergent donc vers un même réel, et l’on vérifie sans peine que son carré vaut $2$ .

Ce que la méthode apporte tient dans l’écart : au rang $n$ , l’erreur commise en prenant $u_{n}$ pour valeur approchée ne dépasse pas $2^{-n}$ . Dix étapes donnent trois décimales, vingt en donnent six. La convergence est lente, mais la majoration de l’erreur est acquise avant tout calcul, ce qui la rend utilisable.

C’est la différence pratique entre les deux théorèmes. La limite monotone dit qu’un nombre existe ; les suites adjacentes disent où il est, à $2^{-n}$ près. Un énoncé d’existence est devenu un algorithme.

4. Ce que fabrique tout développement décimal

L’écriture décimale d’un réel est un couple de suites adjacentes, et personne ne le dit. Écrire $\pi=3{,}14159\ldots$ , c’est se donner

$\displaystyle u_{n}=\frac{\lfloor 10^{n}\pi\rfloor}{10^{n}} \qquad\text{ et }\qquad v_{n}=u_{n}+\frac{1}{10^{n}},$

c’est-à-dire les troncatures par défaut et par excès. La première suite croît, la seconde décroît, leur écart vaut $10^{-n}$ . Les décimales que l’on écrit ne sont donc pas le nombre : elles sont la suite d’intervalles qui le piègent.

La conséquence mérite d’être énoncée franchement : on ne connaît aucun réel irrationnel autrement que par une suite qui l’approche. Il n’y a pas d’autre accès. C’est exactement l’idée que Dedekind formalise par les coupures et que Cantor formalise par les suites de Cauchy ; le développement décimal en est la version que l’école primaire enseigne sans la nommer.

Une dernière remarque, qui explique une bizarrerie familière. L’écriture décimale n’est pas tout à fait unique : $0{,}999\ldots$ et $1$ désignent le même réel, parce que les deux couples de suites adjacentes correspondants ont la même limite. L’égalité n’a rien d’un paradoxe une fois qu’on a compris que le développement décimal est un procédé d’encadrement, et non un nom.

Le prochain article de la série quitte les suites pour les fonctions, et pose la question de la continuité en un point — dont on verra qu’elle admet trois définitions équivalentes, et que l’équivalence n’est pas gratuite.

La construction du corps des réels et la complétude dont dépendent ces énoncés sont exposées au chapitre 3 du Discours formel sur les mathématiques pour le secondaire, Volume I. Les suites numériques elles-mêmes feront l’objet du Volume II, en préparation.

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Suites adjacentes et segments emboîtés

1. Deux suites qui se referment

2. La formulation par intervalles

3. La dichotomie, ou l’encadrement au travail

4. Ce que fabrique tout développement décimal

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1. Deux suites qui se referment

2. La formulation par intervalles

3. La dichotomie, ou l’encadrement au travail

4. Ce que fabrique tout développement décimal

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