Russell proposait cette image, et elle vaut tous les exposés. Devant une infinité de paires de chaussures, choisir une chaussure dans chaque paire ne demande aucun principe nouveau : on prend la gauche, et la règle vaut pour toutes. Devant une infinité de paires de chaussettes, la même opération devient impossible à décrire : rien … Lire la suite de L’axiome du choix et le lemme de Zorn
Auteur : Christian Nguembou Tagne
Corrigé, et le théorème de Rolle
Trois obstacles à la dérivabilité, et un quatrième défaut qui n'en est pas un : la dernière fonction est bien dérivable partout, mais sa dérivée n'est continue nulle part au voisinage de l'origine. Le corrigé se termine sur le théorème qui met la dérivée au travail, et sur l'énumération de ce qu'il faut lui accorder … Lire la suite de Corrigé, et le théorème de Rolle
Isométries de l’espace : ce que « superposable » veut dire
Le mot traîne dans l'enseignement depuis vingt-trois siècles sans avoir jamais été défini. Euclide s'en sert pour démontrer un cas d'égalité des triangles ; Hilbert, deux mille deux cents ans plus tard, refuse cette démonstration et pose à la place un axiome. Entre les deux, il y a tout ce que l'article veut expliciter : … Lire la suite de Isométries de l’espace : ce que « superposable » veut dire
Corrigé, et l’hypothèse du continu
Sept des dix ensembles proposés sont dénombrables, trois ne le sont pas, et l'intuition se trompe précisément là où on l'attend : les polynômes entiers et les nombres algébriques, qui semblent innombrables, s'énumèrent sans peine ; les suites de zéros et de uns, qui semblent modestes, ne s'énumèrent pas. Le corrigé traite les dix cas, … Lire la suite de Corrigé, et l’hypothèse du continu
Exercice : quatre fonctions, quatre défauts de dérivabilité
Les quatre fonctions qui suivent sont toutes continues au point étudié. Trois d'entre elles n'y sont pourtant pas dérivables, chacune pour une raison qui lui est propre ; la quatrième l'est, et son défaut se cache un cran plus loin. La continuité ne peut donc rien expliquer de ce qui les sépare : c'est ailleurs … Lire la suite de Exercice : quatre fonctions, quatre défauts de dérivabilité
Le théorème des trois perpendiculaires
C'est l'outil qui permet de calculer une distance dans l'espace sans poser un seul repère, et c'est aussi celui qui justifie l'apothème d'une pyramide, objet que le collège manipule sans jamais dire de quel droit. Son énoncé tient en une ligne, sa démonstration en trois, et il repose entièrement sur la distinction posée dans l'article … Lire la suite de Le théorème des trois perpendiculaires
Exercice : dénombrable ou non ?
Deux techniques, et deux seulement, ont été mises en place : construire une énumération pour prouver qu'un ensemble est dénombrable, et construire un objet manquant pour prouver qu'il ne l'est pas. Les dix ensembles qui suivent se répartissent entre les deux camps, et l'intérêt de l'exercice tient à ce que l'intuition se trompe au moins … Lire la suite de Exercice : dénombrable ou non ?
Dérivable entraîne continue, et la réciproque est fausse
L'implication se démontre en trois lignes et tout le monde l'admet. C'est la réciproque qui réserve la surprise, et elle est bien pire que ne le laisse croire le contre-exemple habituel : il existe des fonctions continues en tout point et dérivables en aucun. La courbe se trace d'un trait sans jamais admettre de tangente, … Lire la suite de Dérivable entraîne continue, et la réciproque est fausse
Perpendiculaire n’est pas orthogonal
Dans le plan, les deux mots sont interchangeables, et l'enseignement s'en accommode depuis toujours. Dans l'espace, ils cessent de désigner la même chose, et l'un des deux n'apparaît même pas dans l'ouvrage dont cette série est tirée. Ce n'est pas un oubli : la définition axiomatique de la perpendicularité contient une condition que l'autre notion … Lire la suite de Perpendiculaire n’est pas orthogonal
L’argument diagonal : ℝ n’est pas dénombrable
On a su énumérer les rationnels, qui sont pourtant partout denses sur la droite : entre deux d'entre eux il y en a toujours un troisième, et cela ne les a pas empêchés de tenir dans une suite. L'expérience suggère qu'avec assez d'astuce, on énumérerait aussi les réels. Cantor a montré en 1874 qu'il n'en … Lire la suite de L’argument diagonal : ℝ n’est pas dénombrable
