Dans le plan, les deux mots sont interchangeables, et l’enseignement s’en accommode depuis toujours. Dans l’espace, ils cessent de désigner la même chose, et l’un des deux n’apparaît même pas dans l’ouvrage dont cette série est tirée. Ce n’est pas un oubli : la définition axiomatique de la perpendicularité contient une condition que l’autre notion doit précisément lever.

L’article poursuit la série Du point à l’espace. Il fait suite à l’article sur le produit scalaire, et il reprend les directions de droites dégagées dans Trois parallélismes, et non un seul.

1. La définition, telle qu’elle est écrite

Deux droites sont dites perpendiculaires si elles sont sécantes et si les quatre angles formés autour de leur point de rencontre sont droits.

Le mot « sécantes » n’est pas décoratif. Un angle est, dans l’axiomatique de Hilbert, formé par deux demi-droites de même origine. Sans point commun, pas de sommet ; sans sommet, pas d’angle ; sans angle, rien à déclarer droit. La perpendicularité est donc une relation qui exige un point de rencontre, par construction et non par convention.

Il faut noter, au passage, qu’un seul angle droit suffit à les rendre tous droits : deux des trois autres sont ses supplémentaires, le troisième son opposé, et tout angle congruent à un angle droit est droit. La définition aurait donc pu se contenter d’un angle ; elle en demande quatre pour éviter d’avoir à choisir lequel.

2. Le cube tranche immédiatement

Reprenons le cube des articles précédents, face en bas, au-dessus de , et ainsi de suite. Les droites et sont non coplanaires. Elles ne se rencontrent pas ; elles ne sont donc pas perpendiculaires, au sens de la définition ci-dessus.

Pourtant, personne n’accepterait de dire qu’elles sont « de travers » l’une par rapport à l’autre. Elles font un angle droit — mais un angle droit sans sommet, ce qui est une contradiction dans les termes. C’est ce vide que le mot orthogonal vient combler.

3. La définition d’orthogonal, et ce qu’elle exige

Définition. Deux droites et sont orthogonales lorsqu’il existe un point tel que la parallèle à menée par et la parallèle à menée par soient perpendiculaires.

La définition contient un « il existe », et toute définition de cette forme appelle une vérification : le résultat ne doit pas dépendre du point choisi. C’est vrai, et c’est un théorème.

Proposition. Si la propriété ci-dessus vaut pour un point , elle vaut pour tout point de l’espace.

La démonstration repose entièrement sur deux acquis de la série : le parallélisme des droites est une relation d’équivalence, et les angles à côtés respectivement parallèles sont congruents. Pour un second point , la parallèle à menée par est parallèle à celle menée par — par transitivité —, et de même pour ; l’angle en est donc congruent à l’angle en , qui est droit, donc il est droit.

L’orthogonalité n’est donc pas une relation entre deux droites : c’est une relation entre leurs directions. Deux droites orthogonales peuvent se couper ou non ; si elles se coupent, elles sont perpendiculaires. Autrement dit, perpendiculaire = orthogonal + sécant. Dans le plan, deux droites de directions distinctes se coupent toujours, et c’est pourquoi la distinction y est invisible.

4. Trois erreurs que la confusion produit

« Ces deux droites sont orthogonales, donc elles se coupent. » Non. Dans le cube, et sont orthogonales et sans point commun. C’est l’erreur inverse qui est correcte : perpendiculaires entraîne sécantes, par définition.

« Deux droites orthogonales à une même troisième sont parallèles. » Vrai dans le plan, faux dans l’espace. Dans le cube, et sont toutes deux orthogonales à , et elles sont sécantes en . On peut faire pire : et sont orthogonales à sans être ni parallèles ni sécantes. L’orthogonalité n’est pas transitive, et elle n’est même pas réflexive — une droite n’est jamais orthogonale à elle-même.

« La droite est perpendiculaire au plan. » Formule courante, et il faut savoir ce qu’elle abrège. Une droite est orthogonale à un plan lorsqu’elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan ; on dit perpendiculaire au plan quand elle le coupe en outre. La vérification paraît infinie, et le théorème suivant la rend finie.

Théorème. Une droite orthogonale à deux droites sécantes d’un plan est orthogonale à toutes les droites de ce plan.

Le mot « sécantes » y est indispensable, et c’est l’erreur classique de l’oublier : deux droites parallèles du plan ne suffisent pas, puisqu’elles ne portent qu’une seule direction. Deux directions distinctes engendrent la direction du plan tout entier ; une seule n’engendre qu’elle-même.

5. Pourquoi le mot manque à l’ouvrage, et pourquoi c’est cohérent

Le mot orthogonal n’apparaît pas une seule fois dans Du Point à l’Espace. C’est conséquent avec le niveau où l’ouvrage se tient : celui des axiomes, où l’angle est une classe de congruence de couples de demi-droites de même origine. À ce niveau, l’orthogonalité n’est pas une notion primitive. Elle n’existe qu’une fois construites les directions, c’est-à-dire les classes de droites parallèles — un quotient, encore.

Le produit scalaire, lui, ignore complètement le sommet : ne parle que de deux vecteurs, et un vecteur n’a pas de position. C’est exactement pour cette raison qu’il capture l’orthogonalité et jamais la perpendicularité. L’algèbre ne peut pas voir si les droites se coupent ; il faut le lui dire.

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La définition de la perpendicularité, l’existence et l’unicité de la perpendiculaire menée par un point extérieur, et la classification des angles en droits, aigus et obtus figurent au chapitre 2 de Du Point à l’Espace. Le terme orthogonal n’y apparaît pas ; il est introduit ici, à partir de la perpendicularité et du parallélisme de l’annexe A.