Une infinité de premiers congrus à 3 modulo 4

Rangez les nombres premiers impairs selon leur reste dans la division par quatre. D’un côté trois, sept, onze, dix-neuf, vingt-trois, trente et un, quarante-trois, quarante-sept ; de l’autre cinq, treize, dix-sept, vingt-neuf, trente-sept, quarante et un. Les deux colonnes s’allongent-elles indéfiniment ? Le théorème de Dirichlet répond oui, et on le cite volontiers comme un bloc inaccessible, réservé à l’analyse savante. Pour ces deux colonnes-là, il n’en est rien : l’argument d’Euclide suffit, à condition de savoir où le modifier. Et ce n’est pas au même endroit pour l’une et pour l’autre.

Cet article est le treizième de la série Le peuple des nombres premiers, tirée de Mathématiques en terminales scientifiques (Tome 2). Il reprend la preuve d’Euclide relue dans « Il y en a toujours un de plus : la preuve d’Euclide, relue de près », paru le 9 octobre, et emploie une fois le petit théorème de Fermat.

1. Deux familles, et une règle de signes

Un entier impair est congru à $1$ ou à $3$ modulo $4$ , et, puisque $3\equiv -1$ , les produits se comportent comme des signes : $1\times 1\equiv 1$ , $(-1)\times(-1)\equiv 1$ , $1\times(-1)\equiv -1$ . Un produit de nombres impairs est donc congru à $3$ modulo $4$ si, et seulement si, il compte un nombre impair de facteurs congrus à $3$ . Le Tome 2 en tire l’énoncé suivant.

Proposition 1. Tout entier naturel congru à $3$ modulo $4$ possède un diviseur premier congru à $3$ modulo $4$ .

Démonstration. Un tel entier $n$ est impair et au moins égal à $3$ ; ses facteurs premiers sont impairs. S’ils étaient tous congrus à $1$ modulo $4$ , leur produit $n$ le serait aussi. $\quad\Box$

2. La famille des restes 3

Théorème 1. Il existe une infinité de nombres premiers congrus à $3$ modulo $4$ .

Démonstration. Supposons qu’ils soient en nombre fini, $q_{1}=3$ , $q_{2}=7$ , …, $q_{k}$ , notons $P$ leur produit et posons $X=4P-1$ . Le nombre $X$ est congru à $3$ modulo $4$ ; d’après la proposition 1, il a un diviseur premier $q$ congru à $3$ , qui figure donc dans la liste et divise $P$ . Alors $q$ divise $4P-X=1$ , ce qui est absurde. $\quad\Box$

Comme chez Euclide, ce n’est pas $X$ qui est nouveau, ce sont certains de ses facteurs. Partons de la liste $3$ , $7$ , $11$ : on trouve $X=4\times 231-1=923=13\times 71$ . Le facteur $13$ est de l’autre famille ; le facteur $71$ , congru à $3$ modulo $4$ , est le nombre premier que la démonstration promettait. Le Tome 2 propose aussi une variante, où l’on remplace $4P-1$ par $2\times p!-1$ , $p$ étant le plus grand nombre premier de la famille ; l’idée est la même.

3. Pourquoi l’argument ne se retourne pas

L’analyse qui suit ne figure pas dans l’ouvrage. On est tenté de recommencer avec l’autre famille : multiplier les nombres premiers congrus à $1$ , former $4P+1$ , et conclure. L’argument se brise à la proposition 1, dont l’analogue est faux : un nombre congru à $1$ modulo $4$ peut n’avoir que des facteurs premiers congrus à $3$ , pourvu qu’ils soient en nombre pair. Avec $P=5$ , on obtient $4P+1=21=3\times 7$ , et aucun facteur n’est de la famille cherchée.

La faute qu’on évite ainsi est un cas de plus de réciproque abusive. La proposition 1 dit « reste $3$ , donc un facteur de reste $3$ ». Elle ne dit pas « reste $1$ , donc un facteur de reste $1$ », et cette seconde phrase est fausse. Les deux familles ne sont pas symétriques : la règle des signes favorise la première.

4. La famille des restes 1, par un autre chemin

Un autre exercice du Tome 2 contourne l’obstacle en changeant de nombre auxiliaire. Au lieu de $4P+1$ , il emploie un carré augmenté de un, dont les facteurs premiers impairs ont une propriété remarquable.

Proposition 2. Si un nombre premier impair $p$ divise $a^{2}+1$ pour un certain entier $a$ , alors $p\equiv 1\pmod 4$ .

Démonstration. On a $a^{2}\equiv -1\pmod p$ , donc $p$ ne divise pas $a$ , et le petit théorème de Fermat donne $a^{p-1}\equiv 1\pmod p$ . Comme $p$ est impair, $(p-1)/2$ est entier, et

$\displaystyle (-1)^{\frac{p-1}{2}}\equiv\bigl(a^{2}\bigr)^{\frac{p-1}{2}}=a^{p-1}\equiv 1\pmod p.$

Si $(p-1)/2$ était impair, on aurait $-1\equiv 1$ , c’est-à-dire que $p$ diviserait $2$ , ce qui est exclu. Donc $(p-1)/2$ est pair, et $p\equiv 1\pmod 4$ . $\quad\Box$

Théorème 2. Il existe une infinité de nombres premiers congrus à $1$ modulo $4$ .

Démonstration. Supposons-les en nombre fini, de produit $\ell$ , et posons $x=(2\ell)^{2}+1$ . Ce nombre est impair et supérieur à $1$ ; il a donc un diviseur premier $p$ impair, congru à $1$ modulo $4$ d’après la proposition 2. Ce $p$ figure dans la liste, divise $\ell$ , donc $(2\ell)^{2}$ , et divise $x-(2\ell)^{2}=1$ . C’est absurde. $\quad\Box$

Avec $\ell=5\times 13=65$ , on trouve $x=130^{2}+1=16\,901$ , qui est lui-même premier et congru à $1$ modulo $4$ . La preuve de la famille des restes $1$ demande donc un outil de plus, le petit théorème de Fermat ; c’est le prix de l’asymétrie de la section 3. Le même exercice traite aussi, par l’argument de la section 2, les nombres premiers congrus à $5$ modulo $6$ .

5. Ce que dit Dirichlet, et ce qu’on observe

Le théorème qui suit ne figure pas dans l’ouvrage ; il est admis ici. En 1837, Gustav Lejeune Dirichlet a démontré que, si $a$ et $d$ sont deux entiers premiers entre eux, il existe une infinité de nombres premiers congrus à $a$ modulo $d$ . Sa démonstration fait appel à l’analyse, par des séries qui portent aujourd’hui son nom. Les arguments à la manière d’Euclide, comme ceux des sections 2 et 4, ne s’étendent pas à tous les couples $(a,d)$ ; les deux cas traités ici en sont des cas particuliers, accessibles parce que les nombres auxiliaires $4P-1$ et $(2\ell)^{2}+1$ font tout le travail.

Les deux familles sont donc infinies, mais elles ne progressent pas au même rythme apparent. Jusqu’à $26\,860$ , on compte toujours au moins autant de nombres premiers congrus à $3$ que de nombres premiers congrus à $1$ ; la seconde famille ne prend la tête qu’en $26\,861$ , et la perd dès le nombre premier suivant, $26\,863$ . Ce léger avantage, observé par Tchebychev dès 1853, n’est pas définitif : John Littlewood a démontré en 1914 que l’ordre des deux familles s’inverse une infinité de fois.

Le dernier article de la série, qui paraît le 2 novembre, fait le bilan de ces quatorze articles : ce que l’on sait des nombres premiers, ce que l’on croit, et ce que l’on ignore.

La proposition 1 et le théorème 1 forment deux exercices de Mathématiques en terminales scientifiques (Tome 2), Nombres premiers et congruence modulo 4 et Un ensemble infini de nombres premiers ; la proposition 2 et le théorème 2 viennent de l’exercice Suites arithmétiques entières et nombres premiers, tous trois dans les exercices d’approfondissement. L’analyse de l’échec de la section 3, le théorème de Dirichlet, admis, et le biais de Tchebychev n’y figurent pas et sont ajoutés ici.

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Une infinité de premiers congrus à 3 modulo 4

1. Deux familles, et une règle de signes

2. La famille des restes 3

3. Pourquoi l’argument ne se retourne pas

4. La famille des restes 1, par un autre chemin

5. Ce que dit Dirichlet, et ce qu’on observe

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1. Deux familles, et une règle de signes

2. La famille des restes 3

3. Pourquoi l’argument ne se retourne pas

4. La famille des restes 1, par un autre chemin

5. Ce que dit Dirichlet, et ce qu’on observe

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