Ouvrez n'importe quel manuel de sixième à la page de géométrie. Vous y lirez, à peu de mots près : un point du plan est un lieu, un endroit qui n'a ni longueur ni épaisseur. Des millions d'élèves ont appris cette phrase. Elle ne définit rien. Elle énumère ce qu'un point n'a pas, et laisse … Lire la suite de Remettre le formalisme au centre de l’apprentissage et de l’enseignement des mathématiques
Image directe, image réciproque : l’asymétrie que personne n’explique
On écrit couramment l'ensemble des solutions d'une équation comme l'ensemble des antécédents de zéro, et on emploie pour cela le symbole « f puissance moins un ». Le même symbole désigne pourtant aussi la bijection réciproque — qui n'existe que si la fonction est bijective, ce que celle de l'équation n'est presque jamais. Deux objets, … Lire la suite de Image directe, image réciproque : l’asymétrie que personne n’explique
Exercice : positions relatives, huit configurations
Deux droites, une droite et un plan, deux plans : trois couples d'objets, et pour chacun un petit nombre de positions possibles. L'exercice qui suit demande de les énumérer toutes, puis de dire, pour chacune, ce que la donnée des deux objets détermine et ce qu'elle laisse libre. Le compte tombe sur huit, et la … Lire la suite de Exercice : positions relatives, huit configurations
Corrigé, et l’unicité de la limite
La suite qui converge est la troisième, celle dont le terme général est la différence des racines carrées de deux entiers consécutifs, et sa limite est nulle. Les quatre autres échouent pour quatre raisons distinctes, et c'est cette diversité qui intéresse : diverger est un terme générique pour des réalités diverses. Le corrigé se termine … Lire la suite de Corrigé, et l’unicité de la limite
Fonction, application, correspondance : trois mots, une notion
Un manuel de seconde définit une fonction comme un procédé qui, à un nombre, en associe un autre. Un manuel de terminale parle d'application sans avoir jamais dit en quoi elle diffère d'une fonction. Un cours de licence emploie les deux mots comme des synonymes, et un autre les oppose. L'élève n'y voit pas une … Lire la suite de Fonction, application, correspondance : trois mots, une notion
Droites non coplanaires : la première surprise de l’espace
Depuis le collège, l'élève tient une alternative pour acquise : deux droites sont sécantes, ou bien elles sont parallèles. Il n'y a pas de troisième terme, et de fait il n'y en a pas — dans le plan. Montrez-lui alors, sur un cube, l'arête du bas et l'arête verticale du coin opposé. Elles ne se … Lire la suite de Droites non coplanaires : la première surprise de l’espace
Exercice : cinq suites, une seule converge
Des cinq suites qui suivent, une seule converge. Les quatre autres échouent, et elles échouent pour des raisons distinctes : l'une oscille sans s'arrêter, une autre grandit sans limite, une troisième n'est ni bornée ni régulière, une quatrième diverge alors même que ses termes consécutifs se rapprochent autant qu'on veut. Cette dernière à elle seule … Lire la suite de Exercice : cinq suites, une seule converge
Les axiomes de Zermelo-Fraenkel, sans mystique
Le sigle ZF traverse tous les cours du supérieur, cité comme on cite une autorité lointaine : « on se place dans ZF », « c'est indépendant de ZF ». Rares sont les étudiants qui ont vu la liste en entier, et plus rares encore ceux à qui l'on a dit ce que chaque axiome … Lire la suite de Les axiomes de Zermelo-Fraenkel, sans mystique
« Tend vers » : ce que disent ε et N
« La suite se rapproche de plus en plus de sa limite. » La phrase est dans tous les manuels, elle paraît inoffensive, et elle est fausse dans les deux sens : une suite peut se rapprocher indéfiniment d'un nombre sans converger vers lui, et converger vers un nombre sans jamais s'en rapprocher régulièrement. Ce … Lire la suite de « Tend vers » : ce que disent ε et N
Du plan à l’espace : ce que les axiomes doivent ajouter
« L'espace, c'est le plan avec une dimension de plus. » La formule est commode, et elle ne dit rien de ce qui change vraiment. Passer du plan à l'espace ne consiste pas à ajouter une lettre dans un repère : il faut ajouter des axiomes. Cinq exactement, dans le seul groupe d'incidence, et chacun … Lire la suite de Du plan à l’espace : ce que les axiomes doivent ajouter
Ce qu’un ensemble n’est pas : le paradoxe de Russell
« Un ensemble est une collection d'objets satisfaisant une propriété donnée. » Cette phrase ouvre presque tous les cours, du collège à la licence, et elle a le mérite de ne heurter personne. Elle a aussi un défaut : elle ne sert dans aucune démonstration. Aucune propriété ne s'en déduit, aucun théorème ne s'y appuie. … Lire la suite de Ce qu’un ensemble n’est pas : le paradoxe de Russell
Formalis Mathematica 