Ouvrez n'importe quel manuel de sixième à la page de géométrie. Vous y lirez, à peu de mots près : un point du plan est un lieu, un endroit qui n'a ni longueur ni épaisseur. Des millions d'élèves ont appris cette phrase. Elle ne définit rien. Elle énumère ce qu'un point n'a pas, et laisse … Lire la suite de Remettre le formalisme au centre de l’apprentissage et de l’enseignement des mathématiques
Un symbole ne commence pas une phrase, deux formules ne se touchent pas
« f est continue. » Trois mots justes, et pourtant une phrase qu'on ne peut pas écrire correctement : en français, elle devrait commencer par une majuscule, et F n'est pas f. Une autre copie conclut : « Le PGCD de 15 et de 28 vaut 1, 15 et 28 sont donc premiers entre eux. … Lire la suite de Un symbole ne commence pas une phrase, deux formules ne se touchent pas
D’où viennent x′ = ax + cy + s, et pourquoi ad – bc ne doit pas être nul
On rencontre, en fin de lycée ou en première année, des énoncés de ce genre : « Soit f l'application qui, au point de coordonnées (x, y), associe le point de coordonnées (2x + y + 2, x + 2y + 2). Montrer que f est une transformation affine. » La réponse attendue tient en … Lire la suite de D’où viennent x′ = ax + cy + s, et pourquoi ad – bc ne doit pas être nul
Une démonstration se lit à voix haute
« Soit n > 0 un nombre entier. » La phrase est courte, les symboles sont exacts, et presque tout le monde l'a écrite un jour. Lisez-la à voix haute, en prononçant chaque symbole : « soit n strictement supérieur à zéro un nombre entier ». Personne ne parle ainsi. Lisez de même « le … Lire la suite de Une démonstration se lit à voix haute
Barycentres : trois points suffisent
Un exercice classique dit : « L'application affine f envoie A sur A′, B sur B′ et C sur C′ ; construire l'image du point M. » L'élève trace des parallèles, reporte des longueurs, et trouve un point. Il ne se demande pas pourquoi trois points suffisaient, pourquoi il les faut non alignés, ni pourquoi … Lire la suite de Barycentres : trois points suffisent
Écrire les mathématiques, c’est parler deux langues à la fois
Au milieu d'une démonstration, une copie porte cette ligne : « f cont. sur [a, b] ⇒ ∃ c f(c) = 0 ». La ligne est inventée, mais tout correcteur en a lu de semblables. Elle a l'air rigoureuse, avec sa flèche et son quantificateur. Lisez-la comme une phrase française : il lui manque un … Lire la suite de Écrire les mathématiques, c’est parler deux langues à la fois
Une transformation n’est pas un geste : ce qu’est une application affine
« Faites glisser le triangle de trois carreaux vers la droite. » « Faites-le tourner d'un quart de tour autour du point O. » C'est souvent ainsi que l'on présente les transformations du plan, et l'élève qui suit la consigne déplace un calque, ou la pointe de son crayon. Mais le plan ne bouge pas, … Lire la suite de Une transformation n’est pas un geste : ce qu’est une application affine
Les chiffres en base p savent compter les facteurs premiers
L'article du 29 octobre comptait les facteurs 7 de cinquante factorielle par la formule de Legendre, puis en admettait une seconde, d'allure plus étrange : écrire cinquante en base sept, ce qui donne 101, additionner les chiffres, ce qui donne 2, et calculer (50 − 2)/6 = 8. Cette formule est démontrée ici. Elle n'est … Lire la suite de Les chiffres en base p savent compter les facteurs premiers
Ce qu’on sait, ce qu’on croit, ce qu’on ignore
Un élève de terminale peut croire que les nombres premiers forment un chapitre clos : on les définit, on montre qu'il y en a une infinité, on décompose les entiers en facteurs premiers, et l'on passe à autre chose. Les treize articles de cette série ont suivi ce chemin et l'ont prolongé, toujours sur des … Lire la suite de Ce qu’on sait, ce qu’on croit, ce qu’on ignore
Peser n’importe quoi avec dix masses
Une boîte contient dix masses marquées 1, 2, 4, 8, et ainsi de suite jusqu'à 512 grammes. Avec une balance à deux plateaux, elles suffisent à équilibrer tout objet dont la masse est un nombre entier de grammes compris entre 1 et 1023. Un exercice de Mathématiques en terminales scientifiques (Tome 2) le démontre, et sa … Lire la suite de Peser n’importe quoi avec dix masses
Une infinité de premiers congrus à 3 modulo 4
Rangez les nombres premiers impairs selon leur reste dans la division par quatre. D'un côté trois, sept, onze, dix-neuf, vingt-trois, trente et un, quarante-trois, quarante-sept ; de l'autre cinq, treize, dix-sept, vingt-neuf, trente-sept, quarante et un. Les deux colonnes s'allongent-elles indéfiniment ? Le théorème de Dirichlet répond oui, et on le cite volontiers comme un … Lire la suite de Une infinité de premiers congrus à 3 modulo 4
