Ouvrez n'importe quel manuel de sixième à la page de géométrie. Vous y lirez, à peu de mots près : un point du plan est un lieu, un endroit qui n'a ni longueur ni épaisseur. Des millions d'élèves ont appris cette phrase. Elle ne définit rien. Elle énumère ce qu'un point n'a pas, et laisse … Lire la suite de Remettre le formalisme au centre de l’apprentissage et de l’enseignement des mathématiques
Le nombre dérivé est une limite, pas une pente
On enseigne que le nombre dérivé est la pente de la tangente, et l'on illustre par une sécante qui bascule jusqu'à se coucher sur la courbe. L'image est juste, et l'ordre est inversé. Personne n'a défini la tangente avant ce dessin ; c'est la dérivée qui la définit, et non l'inverse. Ce renversement n'est pas … Lire la suite de Le nombre dérivé est une limite, pas une pente
Le produit scalaire : d’où vient la formule ?
Trois expressions circulent, données comme équivalentes : le produit des longueurs par le cosinus de l'angle, la somme des produits des coordonnées, et le produit d'une longueur par la mesure algébrique d'un projeté. Aucune des trois n'est présentée comme la définition, et chacune sert à démontrer les deux autres. Il y a là un cercle, … Lire la suite de Le produit scalaire : d’où vient la formule ?
Dénombrable : ℕ, ℤ et ℚ ont le même nombre d’éléments
L'ensemble des entiers naturels est contenu dans l'ensemble des entiers relatifs, qui lui-même est contenu dans l'ensemble des rationnels, et chaque inclusion est stricte : il manque les négatifs au premier, les fractions au second. L'intuition en conclut qu'il y a de plus en plus d'éléments. Elle se trompe trois fois. Ces trois ensembles ont … Lire la suite de Dénombrable : ℕ, ℤ et ℚ ont le même nombre d’éléments
Corrigé, et le théorème des valeurs intermédiaires
Un seul des quatre défauts de continuité se répare, celui de la deuxième fonction. Les trois autres tiennent, et pour des raisons qu'il faut distinguer si l'on veut comprendre ce que la continuité exige. Ce corrigé se termine sur le théorème qui donne à cette notion tout son intérêt — et sur la propriété de … Lire la suite de Corrigé, et le théorème des valeurs intermédiaires
Vecteurs de l’espace : la définition scolaire et ce qu’elle cache
« Un vecteur est un segment orienté. » La phrase ouvre le chapitre dans presque tous les manuels, et elle est fausse dès la page suivante — celle où l'on écrit que deux segments orientés différents peuvent être le même vecteur. Deux constructions correctes existent pour réparer cela. Elles ne se ressemblent pas, elles ne … Lire la suite de Vecteurs de l’espace : la définition scolaire et ce qu’elle cache
Exercice : quatre fonctions, quatre défauts de continuité
« La fonction n'est pas continue en ce point. » Cette phrase seule ne dit pas tout : elle ne précise pas ce qui empêche la continuité. Or il y a plusieurs manières d'échouer, et savoir laquelle est à l'œuvre change ce que l'on peut réparer. Les quatre fonctions qui suivent échouent chacune à sa … Lire la suite de Exercice : quatre fonctions, quatre défauts de continuité
Corrigé, et les relations d’ordre
Deux des cinq relations proposées sont des équivalences, une est un ordre, et les deux qui échouent le font pour des raisons opposées : l'une perd la transitivité, l'autre la symétrie. Le corrigé les traite dans l'ordre, puis démonte la démonstration fausse — dont l'erreur tient à quatre mots — et termine sur la notion … Lire la suite de Corrigé, et les relations d’ordre
La continuité en un point : trois définitions pour une notion
« Une fonction est continue si l'on peut tracer sa courbe sans lever le crayon. » La phrase circule depuis le lycée jusqu'aux copies de licence, et elle ne définit rien : elle décrit un geste de la main, pas une propriété mathématique. Elle est du reste inutilisable dès que la courbe n'est pas traçable … Lire la suite de La continuité en un point : trois définitions pour une notion
Exercice : cinq relations, lesquelles sont des équivalences ?
Vérifier qu'une relation est une équivalence passe pour une formalité : on récite trois propriétés, on coche trois cases. L'exercice qui suit propose cinq relations dont deux seulement sont des équivalences, une est une relation d'ordre, et deux échouent chacune sur une propriété différente. Il se termine sur une démonstration fausse que l'on rencontre régulièrement … Lire la suite de Exercice : cinq relations, lesquelles sont des équivalences ?
Trois parallélismes, et non un seul
Le même mot désigne trois relations : entre deux droites, entre une droite et un plan, entre deux plans. L'usage scolaire les traite comme une seule notion déclinée trois fois, et c'est là que naissent la plupart des raisonnements faux du chapitre. Deux de ces trois relations possèdent une propriété d'unicité ; la troisième n'en … Lire la suite de Trois parallélismes, et non un seul
Formalis Mathematica 