Ouvrez n'importe quel manuel de sixième à la page de géométrie. Vous y lirez, à peu de mots près : un point du plan est un lieu, un endroit qui n'a ni longueur ni épaisseur. Des millions d'élèves ont appris cette phrase. Elle ne définit rien. Elle énumère ce qu'un point n'a pas, et laisse … Lire la suite de Remettre le formalisme au centre de l’apprentissage et de l’enseignement des mathématiques
Multiplier par doublements : ce que fait le processeur
Pour multiplier 25 par 12, on peut se passer des tables. On écrit les deux nombres en tête de deux colonnes. À chaque ligne, on divise le nombre de gauche par deux en oubliant le reste, et l'on double celui de droite, jusqu'à ce que la colonne de gauche atteigne 1. On barre ensuite les … Lire la suite de Multiplier par doublements : ce que fait le processeur
Combien de fois 7 divise-t-il 50 ! ?
Cinquante factorielle, le produit de tous les entiers de un à cinquante, s'écrit avec soixante-cinq chiffres, dont les douze derniers sont des zéros. Combien de fois peut-on le diviser par sept ? La méthode qui vient d'abord à l'esprit — calculer le nombre, puis le diviser par sept tant que la division tombe juste — … Lire la suite de Combien de fois 7 divise-t-il 50 ! ?
Une base peut ne pas être constante : la base des factorielles
Deux cent mille secondes font deux jours, sept heures, trente-trois minutes et vingt secondes. Personne ne s'étonne de ce calcul, et pourtant il écrit un nombre dans un système dont la base change d'un rang à l'autre : soixante, puis soixante, puis vingt-quatre. On peut pousser l'idée jusqu'au bout et prendre pour poids successifs 1, … Lire la suite de Une base peut ne pas être constante : la base des factorielles
Corrigé : pourquoi la raison vaut 210
Deux cent dix est le produit de deux, trois, cinq et sept. Que la seule progression de dix nombres premiers inférieurs à trois mille ait précisément cette raison n'a rien d'une coïncidence de calcul : c'est une nécessité, et elle tient en un seul argument, appliqué successivement à chacun des petits nombres premiers. Une fois … Lire la suite de Corrigé : pourquoi la raison vaut 210
Corrigé, et pourquoi la clé se calcule modulo 11 et non modulo 10
Les codes-barres des produits et les numéros ISBN des livres d'aujourd'hui calculent leur clé modulo dix, et n'emploient que des chiffres. Le numéro ISSN des revues la calcule modulo onze, et doit pour cela admettre une lettre, le X, qui vaut dix. Ce choix coûte une bizarrerie typographique et n'a rien d'un caprice. Une clé … Lire la suite de Corrigé, et pourquoi la clé se calcule modulo 11 et non modulo 10
Exercice : des nombres premiers en progression arithmétique
Cinq, onze, dix-sept, vingt-trois, vingt-neuf : cinq nombres premiers, chacun obtenu en ajoutant six au précédent. Le suivant, trente-cinq, ne l'est plus. Cent quatre-vingt-dix-neuf, quatre cent neuf, six cent dix-neuf, et ainsi de suite en ajoutant deux cent dix : cette fois, dix nombres premiers d'affilée. Les écarts six et deux cent dix ne doivent … Lire la suite de Exercice : des nombres premiers en progression arithmétique
Exercice : la clé de contrôle d’un ISSN
Retournez un journal ou une revue : quelque part sur la couverture figure un numéro de huit caractères, deux groupes de quatre séparés par un tiret, précédés des lettres ISSN. Les sept premiers caractères identifient la publication. Le huitième ne lui apprend rien ; il est calculé à partir des sept autres et sert à … Lire la suite de Exercice : la clé de contrôle d’un ISSN
Fermat s’est trompé, et son erreur a produit un théorème
Trois, cinq, dix-sept, deux cent cinquante-sept, soixante-cinq mille cinq cent trente-sept. Chacun s'obtient en élevant deux à une puissance de deux, puis en ajoutant un, et chacun est premier. Fermat, dans sa correspondance à partir de 1640, affirme qu'il en va de même de tous les nombres ainsi construits. Le suivant a dix chiffres, quatre … Lire la suite de Fermat s’est trompé, et son erreur a produit un théorème
Changer de base change le critère : base 5 et base 13
En base cinq, le nombre qui s'écrit un-un-quatre vaut trente-quatre. La somme de ses chiffres vaut six, et l'élève qui a bien retenu la leçon de la base dix en conclut qu'il est divisible par trois, voire par six. Il ne l'est ni par l'un ni par l'autre. En base cinq, la somme des chiffres … Lire la suite de Changer de base change le critère : base 5 et base 13
Euclide, Euler, et les nombres parfaits pairs
Six est la somme de ses diviseurs autres que lui-même : un, deux et trois. Vingt-huit aussi : un, deux, quatre, sept et quatorze. Viennent ensuite quatre cent quatre-vingt-seize et huit mille cent vingt-huit, et la liste s'arrête là dans la plupart des ouvrages, comme une collection de raretés. Écrivez pourtant ces quatre nombres autrement … Lire la suite de Euclide, Euler, et les nombres parfaits pairs
