Ouvrez n'importe quel manuel de sixième à la page de géométrie. Vous y lirez, à peu de mots près : un point du plan est un lieu, un endroit qui n'a ni longueur ni épaisseur. Des millions d'élèves ont appris cette phrase. Elle ne définit rien. Elle énumère ce qu'un point n'a pas, et laisse … Lire la suite de Remettre le formalisme au centre de l’apprentissage et de l’enseignement des mathématiques
Exercice : quatre fonctions, quatre défauts de dérivabilité
Les quatre fonctions qui suivent sont toutes continues au point étudié. Trois d'entre elles n'y sont pourtant pas dérivables, chacune pour une raison qui lui est propre ; la quatrième l'est, et son défaut se cache un cran plus loin. La continuité ne peut donc rien expliquer de ce qui les sépare : c'est ailleurs … Lire la suite de Exercice : quatre fonctions, quatre défauts de dérivabilité
Le théorème des trois perpendiculaires
C'est l'outil qui permet de calculer une distance dans l'espace sans poser un seul repère, et c'est aussi celui qui justifie l'apothème d'une pyramide, objet que le collège manipule sans jamais dire de quel droit. Son énoncé tient en une ligne, sa démonstration en trois, et il repose entièrement sur la distinction posée dans l'article … Lire la suite de Le théorème des trois perpendiculaires
Exercice : dénombrable ou non ?
Deux techniques, et deux seulement, ont été mises en place : construire une énumération pour prouver qu'un ensemble est dénombrable, et construire un objet manquant pour prouver qu'il ne l'est pas. Les dix ensembles qui suivent se répartissent entre les deux camps, et l'intérêt de l'exercice tient à ce que l'intuition se trompe au moins … Lire la suite de Exercice : dénombrable ou non ?
Dérivable entraîne continue, et la réciproque est fausse
L'implication se démontre en trois lignes et tout le monde l'admet. C'est la réciproque qui réserve la surprise, et elle est bien pire que ne le laisse croire le contre-exemple habituel : il existe des fonctions continues en tout point et dérivables en aucun. La courbe se trace d'un trait sans jamais admettre de tangente, … Lire la suite de Dérivable entraîne continue, et la réciproque est fausse
Perpendiculaire n’est pas orthogonal
Dans le plan, les deux mots sont interchangeables, et l'enseignement s'en accommode depuis toujours. Dans l'espace, ils cessent de désigner la même chose, et l'un des deux n'apparaît même pas dans l'ouvrage dont cette série est tirée. Ce n'est pas un oubli : la définition axiomatique de la perpendicularité contient une condition que l'autre notion … Lire la suite de Perpendiculaire n’est pas orthogonal
L’argument diagonal : ℝ n’est pas dénombrable
On a su énumérer les rationnels, qui sont pourtant partout denses sur la droite : entre deux d'entre eux il y en a toujours un troisième, et cela ne les a pas empêchés de tenir dans une suite. L'expérience suggère qu'avec assez d'astuce, on énumérerait aussi les réels. Cantor a montré en 1874 qu'il n'en … Lire la suite de L’argument diagonal : ℝ n’est pas dénombrable
Le nombre dérivé est une limite, pas une pente
On enseigne que le nombre dérivé est la pente de la tangente, et l'on illustre par une sécante qui bascule jusqu'à se coucher sur la courbe. L'image est juste, et l'ordre est inversé. Personne n'a défini la tangente avant ce dessin ; c'est la dérivée qui la définit, et non l'inverse. Ce renversement n'est pas … Lire la suite de Le nombre dérivé est une limite, pas une pente
Le produit scalaire : d’où vient la formule ?
Trois expressions circulent, données comme équivalentes : le produit des longueurs par le cosinus de l'angle, la somme des produits des coordonnées, et le produit d'une longueur par la mesure algébrique d'un projeté. Aucune des trois n'est présentée comme la définition, et chacune sert à démontrer les deux autres. Il y a là un cercle, … Lire la suite de Le produit scalaire : d’où vient la formule ?
Dénombrable : ℕ, ℤ et ℚ ont le même nombre d’éléments
L'ensemble des entiers naturels est contenu dans l'ensemble des entiers relatifs, qui lui-même est contenu dans l'ensemble des rationnels, et chaque inclusion est stricte : il manque les négatifs au premier, les fractions au second. L'intuition en conclut qu'il y a de plus en plus d'éléments. Elle se trompe trois fois. Ces trois ensembles ont … Lire la suite de Dénombrable : ℕ, ℤ et ℚ ont le même nombre d’éléments
Corrigé, et le théorème des valeurs intermédiaires
Un seul des quatre défauts de continuité se répare, celui de la deuxième fonction. Les trois autres tiennent, et pour des raisons qu'il faut distinguer si l'on veut comprendre ce que la continuité exige. Ce corrigé se termine sur le théorème qui donne à cette notion tout son intérêt — et sur la propriété de … Lire la suite de Corrigé, et le théorème des valeurs intermédiaires
