Un nombre premier n’est pas « un nombre qu’on ne peut pas décomposer »

/ Christian Nguembou Tagne

Demandez en classe ce qu’est un nombre premier, et la réponse vient sans hésiter : un nombre divisible seulement par un et par lui-même. Demandez ensuite si un est premier. La classe répond non, et elle a raison, mais la phrase qu’elle vient de réciter dit oui : un n’est divisible que par un, c’est-à-dire par un et par lui-même. Une autre réponse circule, plus imagée — un nombre premier serait un nombre qu’on ne peut pas décomposer. Elle ne vaut pas mieux : sept se décompose très bien en trois plus quatre, et en sept fois un. Une définition qui laisse entrer le seul nombre qu’elle devait exclure n’est pas une définition.

Cet article ouvre la série Le peuple des nombres premiers, tirée du chapitre 4 de Mathématiques en terminales scientifiques (Tome 2). Elle prend la suite de La chaîne du PGCD, close en août, dont deux articles servent ici : le théorème de Gauss, et le crible d’Ératosthène, où l’on a établi pourquoi l’on peut s’arrêter à la racine carrée. Le prochain article de la série, « Il y en a toujours un de plus : la preuve d’Euclide, relue de près », paraît le 9 octobre.

1. La phrase du cahier, prise au mot

La phrase « le nombre n est divisible seulement par 1 et par lui-même » signifie : tout diviseur positif de n est égal à 1 ou à n. Pour n=7, c’est vrai, et c’est ce que l’on voulait dire. Pour n=1, le seul diviseur positif est 1, qui est à la fois « 1 » et « lui-même » : la phrase est encore vraie. Seul le nombre 0 est écarté, parce que tout entier le divise.

La définition du Tome 2 procède autrement. Elle ne nomme pas les diviseurs, elle les compte.

Définition. Un entier naturel p est dit premier s’il possède exactement deux diviseurs positifs, à savoir 1 et p lui-même.

Notons d(n) le nombre de diviseurs positifs de l’entier n. Le décompte des premiers entiers suffit à voir ce que fait la définition.

\begin{array}{|l||c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\[0pt] \hline d(n) & \infty & 1 & 2 & 2 & 3 & 2 & 4 & 2 & 4 \\[0pt] \hline \end{array}

Les nombres premiers sont exactement les colonnes où l’on lit 2. Le nombre 0 en a une infinité, le nombre 1 un seul : les deux sont écartés sans clause particulière. Quand p=1, les deux noms « 1 » et « p » désignent le même nombre, et le compte tombe à un. Entre la phrase récitée et la définition, la différence tient dans un mot. Le mot qui compte est « deux ».

2. Pourquoi écarter 1 ?

On pourrait trouver le décompte arbitraire, et demander pourquoi la définition ne dit pas « au plus deux ». La réponse n’est pas une affaire de goût. Le nombre 12 s’écrit 2^{2}\times 3 et, comme le montrera le troisième article de la série, c’est sa seule écriture comme produit de nombres premiers rangés dans l’ordre croissant. Si 1 était premier, il en aurait une infinité :

\displaystyle 12=2^{2}\times 3=1\times 2^{2}\times 3=1^{2}\times 2^{2}\times 3=1^{3}\times 2^{2}\times 3=\cdots

L’unicité de la décomposition, qui est le théorème central de l’arithmétique élémentaire, devrait alors s’énoncer « aux facteurs égaux à 1 près », et chaque énoncé qui s’appuie sur elle traînerait la même réserve. Écarter 1 coûte un mot dans la définition ; l’admettre coûterait une clause dans chaque théorème.

La question n’a pas toujours été tranchée ainsi. Pour Euclide, elle ne se posait pas : un nombre était « une multitude composée d’unités », et l’unité elle-même n’en était pas un. Elle s’est posée plus tard, et la réponse a varié longtemps. En 1914 encore, Derrick Norman Lehmer ouvrait par le nombre 1 sa table des nombres premiers jusqu’à un peu plus de dix millions, au motif que 1 n’est certainement pas composé au sens où 6 l’est, et qu’il faudrait sinon créer une classe pour lui seul. L’objection est juste, et c’est exactement ce qu’on a fini par faire. Le nombre 1 n’est ni premier ni composé : avec -1, il forme dans \mathbb{Z} la classe des entiers inversibles, qui sont aussi ceux qui divisent tous les autres.

3. Décomposer, mais en quel sens ?

Revenons à l’image du nombre « qu’on ne peut pas décomposer ». Le nombre 7 se décompose de bien des manières :

\displaystyle 7=3+4,\qquad 7=7\times 1,\qquad 7=(-1)\times(-7),\qquad 7=\tfrac{1}{2}\times 14.

La première est additive et n’a rien à voir avec la question. La deuxième est possible pour tout entier. Les deux dernières sortent de \mathbb{N}. L’image ne dit pas lesquelles comptent ; pour qu’elle devienne un énoncé, il faut préciser trois choses : dans \mathbb{N}, en produit, et avec deux facteurs au moins égaux à 2.

Proposition 1. Un entier naturel n\geq 2 est premier si, et seulement si, il n’existe pas d’entiers naturels a\geq 2 et b\geq 2 tels que n=ab.

Démonstration. Supposons n=ab avec a\geq 2 et b\geq 2. Le nombre a divise n, il est strictement supérieur à 1, et il vérifie a=n/b\leq n/2, donc a<n. L’entier n possède alors au moins trois diviseurs positifs, 1, a et n : il n’est pas premier.

Réciproquement, supposons que n\geq 2 ne soit pas premier. Les nombres 1 et n sont deux diviseurs positifs distincts de n ; puisqu’il n’en a pas exactement deux, il en possède un troisième, a, différent de 1 et de n. Comme un diviseur positif de n ne dépasse pas n, on a 1<a<n. Écrivons n=ab : de a<n on tire b>1, c’est-à-dire b\geq 2, et l’on a bien a\geq 2. \quad\Box

Regardez l’hypothèse n\geq 2 dans l’énoncé. Elle n’est pas là par prudence. Le nombre 1 ne s’écrit pas comme produit de deux entiers au moins égaux à 2 : il est donc « indécomposable » au sens exact qu’on vient de donner. L’image, même rendue rigoureuse, laisse entrer 1, et il faut le mettre dehors à la main. La définition par le décompte des diviseurs n’a pas besoin de ce raccord.

4. Le premier théorème du chapitre

Le chapitre du Tome 2 consacré aux nombres premiers ouvre sur un résultat que l’on emploie constamment sans le formuler.

Proposition 2. Tout entier naturel distinct de 0 et de 1 admet au moins un diviseur premier.

Démonstration. Soit n\geq 2, et soit E l’ensemble des diviseurs d de n tels que d\geq 2. Le nombre n appartient à E, qui est donc une partie non vide de \mathbb{N}. D’après le principe du bon ordre — toute partie non vide de \mathbb{N} admet un plus petit élément, ce que l’on démontre à partir de l’axiome de récurrence, présenté dans l’article sur les axiomes de Peano —, l’ensemble E possède un plus petit élément, que nous notons p.

Supposons que p admette un diviseur positif m différent de 1 et de p. Alors m divise n, par transitivité, et vérifie 2\leq m<p : c’est un élément de E strictement plus petit que p, ce qui contredit le choix de p. Les seuls diviseurs positifs de p sont donc 1 et p, et comme p\geq 2, ils sont bien deux. Le nombre p est un diviseur premier de n. \quad\Box

La démonstration en dit plus que l’énoncé : le plus petit diviseur d’un entier n\geq 2 qui soit différent de 1 est toujours premier. Le nombre 91, que l’on prend volontiers pour premier parce qu’il n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, a pour plus petit diviseur supérieur à 1 le nombre 7, et 91=7\times 13. La proposition ne dit pas comment trouver ce diviseur ; c’est le travail du crible, et de la borne de la racine carrée.

Cette proposition porte les deux articles qui suivent. La preuve d’Euclide l’applique à un nombre fabriqué exprès ; l’existence de la décomposition en facteurs premiers l’applique de proche en proche.

5. Ce que l’image laisse de côté

Ne pas se décomposer n’est pas la propriété qui fait travailler les nombres premiers. Celle qui sert dans presque toutes les démonstrations d’arithmétique est d’une autre nature.

Lemme d’Euclide. Si un nombre premier p divise un produit ab d’entiers, alors p divise a ou p divise b.

Le Tome 2 l’établit dans la section Nombres premiers et divisibilité, comme conséquence du théorème de Gauss. C’est un théorème, et il n’est pas contenu dans l’image. Ne pas se décomposer, et ne pas pouvoir diviser un produit sans diviser l’un des facteurs, sont deux propriétés différentes. Dans \mathbb{N}, elles coïncident, par une démonstration qui passe par l’identité de Bézout. Ailleurs, rien ne les oblige à coïncider. L’exemple qui suit ne figure pas dans l’ouvrage ; la tradition le prête à Hilbert.

Considérons l’ensemble H des entiers naturels congrus à 1 modulo 4 : 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, et ainsi de suite. Le produit de deux éléments de H reste dans H, puisque

\displaystyle (4a+1)(4b+1)=4(4ab+a+b)+1.

On peut donc y parler de divisibilité : dans H, un élément d divise m s’il existe un élément q de H tel que m=dq. Le nombre 9 est indécomposable dans H, car ses seules écritures comme produit de deux entiers naturels sont 1\times 9 et 3\times 3, et le nombre 3 n’appartient pas à H. Le nombre 21 l’est aussi, puisque 21=3\times 7 et que ni 3 ni 7 n’y figurent ; de même pour 49=7\times 7. Or

\displaystyle 21\times 21=441=9\times 49.

Dans H, le nombre 9 divise donc le produit 21\times 21, alors qu’il ne divise pas 21. L’indécomposable de H n’a pas la propriété d’Euclide. Ce qui fait la valeur d’un nombre premier n’est donc pas qu’il résiste à la décomposition, mais qu’il ne peut diviser un produit sans diviser l’un des facteurs — et dans \mathbb{N}, cela se démontre.

Le troisième article de la série, qui paraît le 11 octobre, tirera la conséquence de cet écart. Dans H, le nombre 441 possède deux décompositions distinctes en indécomposables ; dans \mathbb{N}, la décomposition est unique, et elle l’est précisément parce que le lemme d’Euclide y est vrai.

La définition, la proposition 2 et le lemme d’Euclide sont ceux du chapitre 4, Nombres premiers, de Mathématiques en terminales scientifiques (Tome 2), où le lemme est énoncé sans recevoir de nom. La proposition 1, la discussion sur le nombre 1 et l’exemple de l’ensemble H n’y figurent pas et sont construits ici.

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