Au tableau, en classe de quatrième, on écrit trois triplets : trois, quatre, cinq ; cinq, douze, treize ; huit, quinze, dix-sept. L’élève vérifie que la somme des carrés des deux premiers nombres vaut le carré du troisième, et il a raison de trouver cela joli. Puis il demande s’il y en a d’autres. On répond qu’il y en a beaucoup, parfois qu’il y en a une infinité, et l’on passe à la suite. D’où vient la liste ? Elle vient d’une formule, et cette formule ne doit rien au hasard : elle sort d’une identité que l’élève connaît déjà, la différence de deux carrés.

Ce texte ouvre un mini-fil de trois articles, tiré d’un exercice d’approfondissement de Mathématiques en terminales scientifiques (Tome 2). Ce blog a déjà parlé de ces triangles, en 2018, dans une note consacrée aux triangles rectangles presque isocèles — ceux dont les deux côtés de l’angle droit sont deux entiers consécutifs. Le deuxième article de ce fil, à paraître le 5 octobre, démontrera que la formule établie ici ne laisse échapper aucun triplet, et qu’il en découle une divisibilité que personne ne soupçonne en regardant le triplet (3, 4, 5). Le troisième, le 6 octobre, dira ce qui arrive lorsqu’on remplace le carré par le cube.

1. Trois nombres, et un ordre

Commençons par fixer le vocabulaire, qui est celui de l’ouvrage.

Définition. Un triplet d’entiers naturels non nuls est dit pythagoricien lorsque .

Trois remarques, qu’il vaut mieux faire tout de suite parce qu’elles servent partout dans la suite.

L’ordre compte. Le triplet et le triplet sont deux objets distincts, tous deux pythagoriciens ; le triplet n’en est pas un. La troisième composante occupe une place à part : elle est nécessairement la plus grande. En effet, l’égalité et la stricte positivité de donnent , puis par croissance de la fonction carré sur les entiers naturels ; de même, on obtient . C’est l’hypoténuse, et elle est en dernière position par convention.

Les entiers sont non nuls, et cette exclusion n’est pas une coquetterie. Le triplet vérifie l’égalité et ne décrit aucun triangle. Écarter zéro, c’est garder le droit de parler de triangles rectangles sans avoir à le préciser chaque fois.

Rien n’impose que les trois nombres soient premiers entre eux. Le triplet est pythagoricien, et ses trois composantes sont paires. Cette observation anodine va devenir le levier principal de l’article.

2. D’où sort la formule ?

L’exercice donne la formule et demande de la vérifier. Vérifier est utile ; comprendre d’où elle vient l’est davantage, et cela ne coûte qu’une ligne de calcul. Partons de la différence de deux carrés, cette identité que l’on enseigne en troisième et dont on fait rarement quelque chose. Pour deux entiers naturels et , on a

Tout est là. Il suffit de relire cette égalité à l’envers, en faisant passer le carré de dans le membre de droite, pour voir apparaître la relation de Pythagore. La formule n’a donc pas été devinée : elle dit que la différence des carrés de la somme et de la différence de deux carrés est elle-même un carré.

Proposition 1. Soit un couple d’entiers naturels non nuls tel que . Alors les triplets et sont pythagoriciens.

Démonstration. L’hypothèse garantit que le nombre est un entier naturel non nul ; les nombres et le sont également, comme produit et somme d’entiers naturels non nuls. Le calcul ci-dessus livre

ce qui est exactement la condition requise. L’addition étant commutative, l’échange des deux premières composantes préserve cette égalité, et le second triplet est pythagoricien aussi.

Nous disposons donc d’une machine à fabriquer des triangles rectangles entiers, et elle tourne sans s’arrêter : chaque couple en fournit un. Pour et , elle rend ; pour et , elle rend ; pour et , elle rend . Les trois triplets du tableau sont là, à l’ordre des deux premières composantes près.

3. L’effet d’une dilatation

Un triangle rectangle de côtés , et agrandi deux fois reste rectangle : le résultat est fourni par le triplet . L’énoncé précis est une équivalence, et c’est ce point qui compte.

Proposition 2. Soit un entier naturel non nul. Un triplet d’entiers naturels non nuls est pythagoricien si, et seulement si, le triplet l’est.

Démonstration. Le nombre étant non nul, l’égalité équivaut à l’égalité , c’est-à-dire à .

La démonstration tient en une ligne, et le sens de lecture de droite à gauche est celui qui sert : d’un triplet pythagoricien dont les trois composantes sont divisibles par , on déduit un triplet pythagoricien plus petit. Autrement dit, dilater ne crée aucun triangle vraiment neuf — il crée un triangle semblable. Les triplets , , et décrivent le même triangle à des échelles différentes. Un recensement sérieux doit donc commencer par éliminer ces répétitions.

4. Le PGCD de deux termes divise le troisième

Pour éliminer les répétitions, il faut savoir par quel diviser. Le candidat naturel est le PGCD des trois composantes, mais l’ouvrage procède plus finement : il ne regarde que deux d’entre elles, et montre que la troisième suit. Le résultat est plus fort, et il est plus pratique.

Proposition 3. Soit un triplet pythagoricien et . Alors divise . De plus, si l’on pose , et , le triplet est pythagoricien et vérifie .

Démonstration. Le nombre divise et , donc divise et . Comme , le nombre divise .

Il reste à passer de à , et c’est ici que l’on glisse volontiers. L’implication est vraie, mais ce n’est pas une règle générale sur les carrés : on ne prend pas la racine carrée d’une divisibilité comme on prend la racine carrée d’une égalité. L’énoncé voisin « si divise alors divise » est, lui, faux : le nombre divise et ne divise pas . Ce qui sauve notre cas, c’est la décomposition en facteurs premiers. Pour chaque nombre premier , notons l’exposant de dans la décomposition de . La divisibilité s’écrit

d’où pour tout nombre premier , c’est-à-dire . Le facteur se simplifie, et c’est tout l’argument : ce qui travaille, c’est l’égalité , que garantit l’unicité de la décomposition.

Posons alors . Les trois nombres , et sont des entiers naturels non nuls, et . La proposition 2, lue de droite à gauche, donne alors que le triplet est pythagoricien ; et par définition du PGCD.

Notons au passage que cette démonstration utilise l’unicité de la décomposition en facteurs premiers, donc le théorème fondamental de l’arithmétique. Un résultat aussi élémentaire que « le PGCD de deux côtés divise le troisième » n’est pas accessible sans lui.

5. Ce que « primitif » entraîne

La proposition 3 autorise la définition suivante, et le choix de l’ouvrage mérite d’être souligné : la condition ne porte que sur deux composantes.

Définition. Un triplet pythagoricien est dit primitif lorsque .

De la proposition 3 on tire immédiatement que tout triplet pythagoricien s’écrit , avec entier naturel non nul et primitif. Le problème du recensement est donc ramené aux triplets primitifs.

Cette définition paraît plus faible que celle que l’on attendrait — on s’attendrait à une condition sur les trois nombres pris deux à deux. Elle ne l’est pas, et le vérifier prend trois lignes. Cette conséquence ne figure pas dans l’exercice ; je la démontre ici parce que l’article du 5 octobre s’en servira.

Proposition 4. Dans un triplet pythagoricien primitif, les trois composantes sont premières entre elles deux à deux.

Démonstration. Soit un triplet pythagoricien primitif et un nombre premier. Supposons que divise et . Alors divise , donc divise , puisqu’il est premier ; ainsi divise et , ce qui contredit . Supposons maintenant que divise et . Alors divise , donc divise , et l’on retrouve la même contradiction. Quant aux nombres et , ils sont premiers entre eux par hypothèse. Aucun nombre premier ne divise donc deux des trois composantes du triplet.

6. Là où la question reste ouverte

Faisons le bilan de ce qui est acquis. La proposition 1 fabrique des triplets pythagoriciens à volonté ; les propositions 2 et 3 ramènent n’importe quel triplet à un triplet primitif, par une division. Reste la question que l’élève de quatrième avait posée et à laquelle rien de tout cela ne répond : la formule les donne-t-elle tous ?

Il faut mesurer l’écart entre les deux énoncés. « Tout couple fournit un triplet » est une vérification : on calcule, et l’on constate. « Tout triplet provient d’un couple » est une affirmation sur un objet dont on ne sait rien, dont on doit extraire deux nombres qui ne sont pas donnés. C’est le passage de la condition suffisante à la condition nécessaire, et c’est exactement le pas que l’enseignement ordinaire ne fait pas : on montre que la recette marche, on ne montre jamais qu’il n’y a pas d’autre recette.

Une dernière observation, pour montrer que la question n’est pas purement formelle. Avec et , la proposition 1 rend le triplet , qui n’est pas primitif. Avec , et , on obtient le même triplet par un autre chemin. La formule ne distingue donc pas les triplets primitifs des autres, et un même triplet peut s’obtenir de deux façons, selon que l’on fait intervenir ou non le facteur . Avant de pouvoir affirmer qu’elle les donne tous, il faudra d’abord savoir exactement ce qu’elle donne.

La démonstration de la réciproque occupe le prochain article du fil, qui paraît le 5 octobre. Elle repose sur une idée très simple : regarder les carrés modulo 4.

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L’exercice dont ce fil est tiré figure parmi les exercices d’approfondissement de Mathématiques en terminales scientifiques (Tome 2), dans la section consacrée aux familles de nombres entiers ; le cours sur la décomposition en facteurs premiers et les valuations, invoqué à la section 4, s’y lit au chapitre sur les nombres premiers.