« On munit l’espace d’un repère orthonormé. » C’est sans doute la phrase la plus utilisée de toute la géométrie analytique, et elle passe trois choses sous silence : qu’il faut une distance pour graduer un axe, que la droite graduée est un théorème, et que l’orthonormalité est presque toujours une hypothèse inutile. Cet article termine la série en défaisant la phrase mot à mot.

Dernier article de la série Du point à l’espace. Il suppose acquises la construction de la distance, exposée dans l’article précédent, et la définition des vecteurs comme triplets de réels, vue plus tôt dans la série.

1. Ce qu’est un repère, et ce qu’il n’est pas

Définition. Un quadruplet de points de l’espace est un repère cartésien si , et ne sont pas alignés, et si n’appartient pas au plan .

Relisez la définition : elle ne parle ni d’angle ni de longueur. Les trois axes , , n’ont aucune raison d’être deux à deux perpendiculaires, et les trois segments , , n’ont aucune raison d’être congruents. Chaque axe porte sa propre unité, indépendante des deux autres.

La seule exigence est une indépendance, formulée sans algèbre : trois points non alignés, un quatrième hors de leur plan. C’est exactement le nombre de points qui, dans l’article sur la dimension, donnait trois. Le repère orthonormé du lycée est un cas particulier, et l’on verra plus bas qu’on en a rarement besoin.

Le vocabulaire de l’ouvrage mérite d’être retenu, car il rend le repérage dans l’espace beaucoup plus clair : les droites , , sont les axes ; les plans , , sont les planches. On repère un point en deux temps — d’abord sur les planches, ensuite sur les axes.

2. Premier silence : graduer suppose mesurer

Sur une droite munie d’un repère , la coordonnée d’un point est

Un quotient de deux nombres réels. Il n’a de sens que si et sont déjà des nombres — c’est-à-dire après la construction de la distance par coupure, qui occupait l’article précédent. On ne peut pas graduer avant d’avoir fabriqué le nombre, et c’est pourquoi le chapitre métrique doit précéder le chapitre analytique, et non l’inverse.

On notera que le signe, lui, ne vient pas de la distance — laquelle est toujours positive. Il vient de la relation d’ordre sur la droite : est du côté de ou de l’autre. Une coordonnée est donc faite de deux ingrédients d’origines différentes : une grandeur, issue du troisième groupe d’axiomes et de la coupure, et une orientation, issue du deuxième groupe, celui de l’ordre.

3. Deuxième silence : la droite graduée est un théorème

Proposition. Soit un repère d’une droite . L’application , , est une bijection.

L’injectivité ne coûte rien : deux points de même abscisse sont du même côté de et à la même distance, donc confondus. C’est la surjectivité qui porte tout le poids, et elle dit ceci : aucun réel n’est laissé sans point. La droite n’a pas de trou.

Elle repose entièrement sur le théorème signalé dans l’article précédent : pour toute demi-droite d’origine et tout réel , il existe un unique point tel que . Et ce théorème est celui que l’ouvrage énonce en refusant volontairement de le démontrer, faute d’outils de topologie des réels disponibles à ce stade.

Il vaut la peine de mesurer ce que cela signifie. Lorsqu’un élève place le point d’abscisse sur un axe — geste réputé anodin, exécuté des milliers de fois —, il emploie un énoncé qui n’a pas été démontré devant lui, et qui ne pouvait pas l’être à ce niveau. Placer , ou , ne demande que des reports et des bissections. Placer demande la complétude.

4. Troisième silence : l’espace devient un ensemble

Le repérage dans l’espace suit le même schéma, un étage plus haut : chaque point est projeté sur les planches, puis sur les axes, ce qui lui associe un triplet.

Théorème. Soit un repère cartésien de l’espace. L’application

est bijective.

La démonstration construit l’application réciproque à la main : partant d’un triplet , on place trois points sur les trois axes grâce à la proposition précédente, puis on coupe trois fois deux parallèles bien choisies, dans une planche puis dans l’espace. Rien que du parallélisme, et rien qui suppose un angle droit.

Ce théorème a un effet de bord que personne n’attend d’un chapitre de géométrie. Jusque-là, n’était qu’une collection de points — un mot prudent, employé tout au long de l’ouvrage pour ne pas préjuger. La bijection avec , qui est un ensemble, permet enfin de conclure : la collection des points de l’espace est un ensemble au sens de Zermelo et Fraenkel. Il aura donc fallu attendre les coordonnées pour avoir le droit d’écrire .

5. Ce que la bijection n’autorise pas

Elle n’autorise pas à dire que l’espace est . Une bijection identifie sans confondre, et celle-ci dépend d’un choix : changez de repère, et tous les triplets changent, alors que pas un point n’a bougé. est une image fidèle de l’espace, prise sous un certain angle ; ce n’est pas l’espace.

Deux conséquences pratiques, l’une négative et l’autre très positive.

• Un énoncé géométrique doit être invariant par changement de repère. S’il ne l’est pas, il ne parle pas de la figure : il parle du repère. Le contrôle est utile en fin d’exercice.
• Puisque tout repère convient, on a le droit de choisir le plus commode, et ce choix est gratuit. Placer l’origine sur un sommet de la figure et les axes le long de trois arêtes est la première chose à faire, et souvent la seule difficulté de l’exercice.

6. Quand l’orthonormalité sert vraiment

Le partage est net, et il gagnerait à être dit en classe.

Se lit dans tout repère cartésien	Exige un repère orthonormé
Alignement de trois points	Longueur d’un segment
Parallélisme, colinéarité	Mesure d’un angle
Milieu, barycentre	Produit scalaire par la somme des produits
Rapport de deux longueurs sur une même droite	Équation d’une sphère, orthogonalité
Appartenance à un plan, équation d’un plan	Distance d’un point à un plan

La règle qui en découle est simple : si l’énoncé ne parle ni de distance ni d’angle, l’orthonormalité est une hypothèse inutile. L’exiger sans besoin n’est pas seulement superflu, c’est coûteux : cela interdit de choisir le repère adapté à la figure. Dans un parallélépipède quelconque, le repère formé par un sommet et trois arêtes est celui où les huit sommets ont pour coordonnées des et des — et il n’est pas orthonormé.

7. L’ordre, pour finir

Treize articles pour un seul trajet, qu’on peut maintenant énoncer d’un trait : des axiomes d’incidence, on tire les positions relatives et le parallélisme ; du parallélisme, les directions, les vecteurs et les projections ; des axiomes de congruence, la comparaison des segments ; de la comparaison et de l’axiome d’Archimède, la distance ; de la distance, les coordonnées ; des coordonnées, tout le reste.

L’enseignement parcourt ce chemin à l’envers, et il a ses raisons de le faire : on ne commence pas par les fondations quand on apprend à habiter la maison. Mais il ne coûte rien de savoir dans quel sens elle a été bâtie. Le repère n’est pas le décor dans lequel la géométrie se déroule : c’est le dernier objet qu’elle construit.

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Les repères cartésiens de la droite, du plan et de l’espace, la bijection et ses conséquences occupent la section 3 de l’annexe A de Du Point à l’Espace, qui achève l’ouvrage. Le tableau du paragraphe 6 n’y figure pas : il résume, pour l’usage scolaire, ce que la construction implique.