Du Point à l’Espace

Couverture du livre Du Point à l'Espace

Introduction formelle à la géométrie euclidienne

Point, droite, plan, cercle, sphère, etc. sont des notions fondamentales de la géométrie euclidienne. Comment se définissent-elles ? Cette question, évidente en apparence, n’est pas triviale. Elle soulève la problématique plus générale d’une définition rigoureuse de la géométrie euclidienne. Avec les approches intuitives à la mode, la formulation d’une telle définition est une gageure.

Description

La géométrie euclidienne compte indéniablement parmi les théories mathématiques les mieux abouties et les plus enseignées. La littérature dédiée à cette matière est donc luxuriante, fatalement. Dans ce vaste univers littéraire, ce livre n’est toutefois pas redondant. En effet, rédigé à l’adresse de lecteurs profanes (collégiens, lycéens et curieux), il présente diverses approches de la géométrie euclidienne, et s’articule autour d’outils et de principes formels, réservés en général aux textes de mathématiques de l’enseignement supérieur. Cet ouvrage souhaite au demeurant faire la démonstration de l’efficacité de la démarche mathématique formelle (fondée sur la logique et la théorie des ensembles) dans l’enseignement secondaire.

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À qui s’adresse ce livre

  • Aux collégiens et lycéens curieux d’aller au-delà du programme.
  • Aux enseignants qui souhaitent fonder rigoureusement les notions qu’ils transmettent.
  • Aux étudiants et lecteurs curieux qui veulent voir comment se construit une théorie mathématique, des axiomes jusqu’à la mesure des distances.

Sommaire

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  • Avant-propos
  • 1. La démarche mathématique
    • 1.1. Les trois phases de la démarche mathématique
    • 1.2. Logique mathématique — syntaxe, sémantique, règles de déduction
    • 1.3. Théorie des ensembles — axiomes de Zermelo et Fraenkel, relations et applications, construction des entiers, des rationnels et des réels
  • 2. Euclide versus Hilbert
    • 2.1. La géométrie d’Euclide — définitions, postulats, notions communes, propositions, exégèse et critique
    • 2.2. La géométrie euclidienne selon Hilbert — les axiomes, leurs conséquences, consistance et indépendance
  • 3. Distance dans l’espace euclidien
    • 3.1. Relations d’équivalence sur les collections
    • 3.2. Classes de congruence de segments
    • 3.3. Construction de la distance dans l’espace euclidien
  • Annexe A. Approche vectorielle de l’espace euclidien — parallélisme, projections, repères cartésiens, coordonnées, vecteurs, dimension
  • Annexe B. Solutions d’exercices
  • Liste des tableaux · Liste des schémas · Bibliographie · Index

Chaque chapitre se termine par un post-scriptum et une série d’exercices, dont les solutions détaillées figurent en annexe.

Fiche technique

  • Éditeur : BoD – Books on Demand
  • 264 pages, couverture souple
  • Langue : français
  • ISBN papier : 978-2-322-11931-8
  • ISBN numérique : 978-2-322-08838-6

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