Dix doigts, et un théorème

On écrit deux mille quarante-sept depuis le cours préparatoire, en quatre chiffres : un deux, un zéro, un quatre, un sept. Personne ne demande pourquoi cette écriture existe, ni pourquoi il n’y en a qu’une. La question paraît vide, parce que la réponse semble aller de soi. Elle ne va pas de soi. Les chiffres romains, eux, tolèrent deux écritures du nombre quatre : bien des cadrans d’horloge portent encore IIII là où les manuels écrivent IV. Que la numération de position échappe à ce flottement est un théorème, avec une partie facile et une partie qui l’est moins. Et la démonstration qu’on va lire prend un chemin inattendu : elle compte.

Cet article ouvre la série Écrire un nombre, tirée des chapitres 1 et 2 de Mathématiques en terminales scientifiques (Tome 2). Le blog n’a touché à la numération qu’une fois, dans une note de 2022 où elle sert à résoudre un problème de division euclidienne. La démonstration qui suit repose sur la division euclidienne et sur le principe du bon ordre, présenté avec les axiomes de Peano. Le prochain article de la série, « Du décimal au binaire, et pourquoi l’algorithme s’arrête », paraît le 10 octobre.

1. Deux affirmations cachées dans un nombre

L’écriture $2047$ est une abréviation :

$\displaystyle 2047=2\times 10^{3}+0\times 10^{2}+4\times 10^{1}+7\times 10^{0}.$

S’en servir suppose deux choses. D’abord que tout entier naturel non nul s’écrive ainsi, comme somme de puissances de dix affectées de coefficients. Ensuite qu’il ne s’écrive ainsi que d’une seule façon, faute de quoi deux écritures différentes pourraient désigner le même nombre et la comparaison des écritures ne dirait plus rien des nombres.

La seconde affirmation est fausse si l’on ne précise pas quels coefficients sont permis. Sans restriction, on a aussi

$\displaystyle 2047=1\times 10^{3}+10\times 10^{2}+4\times 10^{1}+7=20\times 10^{2}+4\times 10^{1}+7,$

et l’on peut toujours ajouter des zéros en tête, $02047$ ou $002047$ . Deux conditions remettent de l’ordre : chaque coefficient est strictement inférieur à la base, et le premier n’est pas nul. Le théorème dit qu’elles suffisent, et dans n’importe quelle base.

2. L’énoncé

Théorème. Soit $a$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$ . Pour tout entier naturel non nul $x$ , il existe un unique entier naturel $n$ et des entiers naturels uniques $x_{0}$ , $x_{1}$ , …, $x_{n}$ tels que

$\displaystyle x=x_{n}a^{n}+\cdots+x_{1}a+x_{0},\qquad 0<x_{n}<a,\qquad 0\leq x_{j}<a\ \text{pour}\ j<n.$

Les nombres $x_{0}$ , …, $x_{n}$ sont les chiffres de $x$ en base $a$ , et l’on écrit $x=\overline{x_{n}\cdots x_{1}x_{0}}^{\,a}$ . La base dix est celle de l’école, la base deux celle des ordinateurs. Le théorème ne fait aucune différence entre elles.

3. Combien de chiffres ?

Avant les chiffres eux-mêmes, il faut savoir combien il y en aura. C’est l’objet d’un résultat préliminaire.

Proposition 1. Soient $a$ et $x$ des entiers naturels tels que $a\geq 2$ et $x\neq 0$ . Il existe un unique entier naturel $n$ tel que $a^{n}\leq x<a^{n+1}$ .

Démonstration. Considérons l’ensemble $E$ des entiers naturels $p$ tels que $x<a^{p}$ . Il ne contient pas $0$ , puisque $a^{0}=1\leq x$ . Il n’est pas vide : en écrivant $a=b+1$ avec $b\geq 1$ et en ne gardant que les deux premiers termes de la formule du binôme, on obtient $a^{x}\geq 1+xb>x$ , de sorte que $x$ appartient à $E$ . D’après le principe du bon ordre, $E$ possède un plus petit élément $m$ , non nul. Alors $m-1$ n’appartient pas à $E$ , et $n=m-1$ vérifie $a^{n}\leq x<a^{n+1}$ . Si un autre entier $n^{\prime}$ vérifie la même double inégalité, alors $n^{\prime}+1$ est lui aussi le plus petit élément de $E$ , d’où $n^{\prime}=n$ . $\quad\Box$

Pour $x=2047$ en base dix, on a $10^{3}\leq 2047<10^{4}$ , donc $n=3$ et quatre chiffres. En base deux, on a $2^{10}=1024\leq 2047<2048=2^{11}$ , donc $n=10$ et onze chiffres. Et comme $2047=2^{11}-1$ , ces onze chiffres valent tous $1$ ; la section suivante dit pourquoi.

4. L’inégalité qui porte tout

Tout le théorème tient dans une observation que l’on connaît sous la forme $999<1000$ .

Lemme. Si $x_{0}$ , …, $x_{n-1}$ sont des entiers compris entre $0$ et $a-1$ , alors $x_{n-1}a^{n-1}+\cdots+x_{1}a+x_{0}\leq a^{n}-1<a^{n}$ .

Démonstration. Chaque terme est majoré par $(a-1)a^{j}=a^{j+1}-a^{j}$ , et la somme de ces majorants se télescope :

$\displaystyle \sum_{j=0}^{n-1}\bigl(a^{j+1}-a^{j}\bigr)=a^{n}-1.\quad\Box$

Autrement dit, tout ce que l’on peut écrire avec $n$ chiffres pèse moins qu’une seule unité du rang suivant. L’égalité $a^{n}-1=\overline{(a-1)\cdots(a-1)}^{\,a}$ , avec $n$ chiffres, est le cas où tous les chiffres sont maximaux : $999$ en base dix, $2047=\overline{11111111111}^{\,2}$ en base deux.

Première conséquence : si $x=x_{n}a^{n}+\cdots+x_{0}$ avec des chiffres admissibles et $x_{n}\geq 1$ , alors $a^{n}\leq x<(x_{n}+1)a^{n}\leq a^{n+1}$ . Le nombre de chiffres d’une écriture admissible est donc imposé par la proposition 1 ; il ne dépend que de $x$ .

5. L’unicité, par la division euclidienne

Supposons que $x$ admette deux écritures admissibles. D’après ce qui précède, elles ont le même nombre $n+1$ de chiffres. Écrivons-les

$\displaystyle x=x_{n}a^{n}+R=x^{\prime}_{n}a^{n}+R^{\prime},\qquad R=\sum_{j=0}^{n-1}x_{j}a^{j},\qquad R^{\prime}=\sum_{j=0}^{n-1}x^{\prime}_{j}a^{j}.$

Le lemme donne $0\leq R<a^{n}$ et $0\leq R^{\prime}<a^{n}$ . Les deux écritures sont donc deux divisions euclidiennes de $x$ par $a^{n}$ : $x_{n}$ et $x^{\prime}_{n}$ en sont les quotients, $R$ et $R^{\prime}$ les restes. Par unicité de la division euclidienne, $x_{n}=x^{\prime}_{n}$ et $R=R^{\prime}$ . On recommence sur $R$ en divisant par $a^{n-1}$ — le lemme s’applique encore, que le chiffre $x_{n-1}$ soit nul ou non —, et une récurrence sur le nombre de chiffres achève la démonstration. C’est le chemin du Tome 2.

L’écriture fautive $1\times 10^{3}+10\times 10^{2}+47$ de la première section montre où l’argument casse quand un coefficient dépasse la base : le reste $10\times 10^{2}+47=1047$ n’est plus inférieur à $10^{3}$ , et ce n’est plus une division euclidienne.

6. L’existence, en comptant

On attendrait ici un procédé qui fabrique les chiffres. Le Tome 2 fait autre chose, et c’est la partie la plus élégante de sa démonstration : il compte.

Fixons $n$ . Les écritures admissibles à $n+1$ chiffres sont les suites $(x_{n},\dots,x_{0})$ où le premier chiffre prend $a-1$ valeurs et chacun des $n$ autres en prend $a$ : il y en a $(a-1)a^{n}$ . Les entiers $x$ vérifiant $a^{n}\leq x<a^{n+1}$ sont au nombre de $a^{n+1}-a^{n}=(a-1)a^{n}$ . Les deux ensembles ont donc exactement le même nombre d’éléments.

Associons à chaque écriture la valeur qu’elle représente. D’après la section 4, cette valeur tombe dans l’intervalle voulu ; d’après la section 5, deux écritures distinctes ont des valeurs distinctes. On a ainsi une application injective entre deux ensembles finis de même cardinal, et une telle application est surjective : chaque entier de l’intervalle est atteint. Comme la proposition 1 place tout entier non nul dans l’un de ces intervalles, tout entier non nul possède une écriture.

En base dix et pour $n=2$ , cela donne : $9\times 10\times 10=900$ écritures à trois chiffres, et $900$ entiers de $100$ à $999$ . Chaque écriture désigne un entier différent, et il y en a exactement autant qu’il en faut. Il n’en reste aucun sans écriture.

Aucune division n’a été effectuée. On sait désormais que $2047$ s’écrit en base sept, sans savoir comment. Le Tome 2 le dit lui-même juste après la démonstration : elle ne donne pas de méthode pour trouver les chiffres. La méthode — les divisions successives — et la raison pour laquelle elle trouve les bons chiffres sont l’objet de l’article du 10 octobre.

7. Là où l’unicité cède

Ce dernier point sort du Tome 2, consacré aux entiers. Le lemme de la section 4 porte sur une somme finie, et l’inégalité y est stricte : $0{,}999$ reste inférieur à $1$ , comme $999$ reste inférieur à $1000$ . Avec une infinité de chiffres après la virgule, la somme des chiffres maximaux atteint exactement l’unité supérieure :

$\displaystyle 0{,}999\ldots=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{9}{10^{k}}=1.$

L’inégalité stricte devient une égalité, et l’unicité tombe : le réel $1$ s’écrit $1{,}000\ldots$ et $0{,}999\ldots$ . C’est pourquoi l’argument diagonal devait choisir l’une des deux écritures avant de construire son nombre. Pour les entiers, l’inégalité reste stricte, et c’est tout ce qui sépare deux mille quarante-sept de ses fausses écritures.

Le théorème, la proposition 1 et leurs démonstrations — l’unicité par la division euclidienne, l’existence par dénombrement — sont ceux de la section Systèmes de numération du chapitre 1 de Mathématiques en terminales scientifiques (Tome 2). Le lemme y figure à l’intérieur de la démonstration, sans être isolé. L’exemple des chiffres romains et la section 7, sur les écritures décimales illimitées, n’y figurent pas et sont ajoutés ici.

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Dix doigts, et un théorème

1. Deux affirmations cachées dans un nombre

2. L’énoncé

3. Combien de chiffres ?

4. L’inégalité qui porte tout

5. L’unicité, par la division euclidienne

6. L’existence, en comptant

7. Là où l’unicité cède

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1. Deux affirmations cachées dans un nombre

2. L’énoncé

3. Combien de chiffres ?

4. L’inégalité qui porte tout

5. L’unicité, par la division euclidienne

6. L’existence, en comptant

7. Là où l’unicité cède

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