Numérotons les lettres de l'alphabet de 0 pour A à 25 pour Z, et chiffrons un message en remplaçant chaque lettre de rang x par ax + b, calculé modulo 26. Le procédé s'appelle le chiffrement affine. Il est élémentaire, et il pose une question qui ne l'est pas : quels couples de coefficients produisent … Lire la suite de Chiffrer avec une fonction affine : tout se joue sur l’inverse modulaire
Algèbre
Le crible d’Ératosthène : pourquoi peut-on s’arrêter à la racine carrée ?
Pour savoir si 211 est premier, personne ne teste 210 divisions. On s'arrête à 13, parce que 14² = 196 et 15² = 225 encadrent 211. La règle est enseignée partout ; sa justification, presque nulle part. Elle tient pourtant en trois lignes, et ces trois lignes disent quelque chose de plus général que le … Lire la suite de Le crible d’Ératosthène : pourquoi peut-on s’arrêter à la racine carrée ?
Le théorème de Gauss : quand a-t-on le droit de simplifier une divisibilité ?
Voici l'un des raisonnements faux les plus tenaces de l'arithmétique scolaire : puisqu'un entier divise un produit, il divise l'un des deux facteurs. La phrase sonne juste. Elle est fausse, et le contre-exemple tient en une ligne. 6 divise 4 × 9, mais 6 ne divise ni 4 ni 9. Le produit vaut 36, que … Lire la suite de Le théorème de Gauss : quand a-t-on le droit de simplifier une divisibilité ?
L’identité de Bézout, ou comment remonter l’algorithme d’Euclide
L'algorithme d'Euclide descend : il réduit un couple d'entiers jusqu'à leur PGCD. Ce que l'on ignore souvent, c'est qu'on peut le remonter, et qu'en le remontant on obtient bien davantage que le PGCD : on obtient une façon de l'écrire à partir des deux nombres de départ. C'est l'identité de Bézout, et elle ouvre la … Lire la suite de L’identité de Bézout, ou comment remonter l’algorithme d’Euclide
Exercice : trois nombres, un seul PGCD
L'algorithme d'Euclide donne le PGCD de deux entiers. Que devient-il lorsqu'on en a trois ? Et quel lien le PGCD entretient-il avec le PPCM ? L'exercice qui suit répond à ces deux questions, puis en pose une troisième dont la réponse surprend presque tous les élèves — et quelques enseignants. Le corrigé paraît dans l'article … Lire la suite de Exercice : trois nombres, un seul PGCD
L’algorithme d’Euclide : calculer un PGCD sans rien factoriser
Demandez à un élève de terminale le PGCD de 4 991 et de 1 219. Il cherchera les décompositions en facteurs premiers, parce que c'est la méthode qu'on lui a montrée, et il y passera un long moment : aucun des deux nombres ne se laisse factoriser de tête. Il existe pourtant un procédé qui donne la … Lire la suite de L’algorithme d’Euclide : calculer un PGCD sans rien factoriser
Ouvrage d’arithmétique : Guide complet pour enseignants et apprenants
La géométrie et l'arithmétique sont les toutes premières disciplines mathématiques pratiquées par l'homme. Elles constituaient alors une boîte à outils pour résoudre les problèmes du quotidien. Dans le monde contemporain, l'arithmétique est étudiée à tous les niveaux d'enseignement. Nous avons travaillé sur les thèmes d'arithmétique inscrits dans les programmes de l'enseignement secondaire, notamment dans les … Lire la suite de Ouvrage d’arithmétique : Guide complet pour enseignants et apprenants
Somme de cubes d’entiers relatifs et divisibilité par 7
Le présent texte propose une démonstration de la propriété suivante : Si la somme des cubes de trois entiers naturels est divisible par 7, alors le produit de ces trois entiers est également divisible par 7. La démonstration proposée ici met à contribution la règle de contraposition. Cette dernière stipule que toute implication est logiquement … Lire la suite de Somme de cubes d’entiers relatifs et divisibilité par 7
Somme d’entiers relatifs et divisibilité par 3
Dans le présent article, notre intérêt se porte sur une propriété manquante de la relation de divisibilité par trois. Nous en proposons une démonstration qui s'appuie sur le jargon et les propriétés de la théorie des applications, et qui fait usage d'un résultat de l'analyse combinatoire. Du reste, les règles de raisonnement par disjonction des … Lire la suite de Somme d’entiers relatifs et divisibilité par 3
Numération et division euclidienne
Lorsqu'un nombre entier naturel est écrit en base dix avec au moins deux chiffres, le nombre constitué des deux derniers chiffres de cette écriture est le reste de la division euclidienne dudit nombre par 100. Dans cet article, nous utilisons cette propriété, après l'avoir démontrée, pour déterminer le chiffre des unités et le chiffre des … Lire la suite de Numération et division euclidienne
