Exercice : quatre fonctions, quatre défauts de dérivabilité

Les quatre fonctions qui suivent sont toutes continues au point étudié. Trois d’entre elles n’y sont pourtant pas dérivables, chacune pour une raison qui lui est propre ; la quatrième l’est, et son défaut se cache un cran plus loin. La continuité ne peut donc rien expliquer de ce qui les sépare : c’est ailleurs qu’il faut chercher, et l’exercice consiste à dire où, en nommant à chaque fois l’obstacle rencontré.

Il poursuit la série Tout tient à la limite. La définition employée est celle de l’article sur le nombre dérivé, et l’implication établie dans l’article précédent — dérivable entraîne continue — sert ici de garde-fou : elle ne peut rien conclure, puisque les quatre fonctions sont continues. Le corrigé paraîtra dans trois jours.

1. Les quatre fonctions

Fonction 1. Sur $\mathbb{R}$ , on pose $f(x)=|x-2|$ . Point étudié : $a=2$ .

Fonction 2. Sur $[0,+\infty[$ , on pose $g(x)=\sqrt[3]{x}$ , prolongée à $\mathbb{R}$ par $g(x)=-\sqrt[3]{-x}$ pour $x<0$ . Point étudié : $a=0$ .

Fonction 3. Sur $\mathbb{R}$ , on pose $h(x)=x\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$ si $x\neq 0$ , et $h(0)=0$ . Point étudié : $a=0$ .

Fonction 4. Sur $\mathbb{R}$ , on pose $k(x)=x^{2}\sin\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right)$ si $x\neq 0$ , et $k(0)=0$ . Point étudié : $a=0$ , puis le comportement de $k^{\prime}$ au voisinage de $0$ .

La quatrième est à part, et l’énoncé le signale : elle est dérivable au point étudié. Le défaut se situe ailleurs, et c’est à le trouver que sert la dernière question.

2. Ce qui est demandé

Vérifier que les quatre fonctions sont continues au point indiqué.
Établir que les trois premières n’y sont pas dérivables, en revenant au taux d’accroissement, et nommer l’obstacle dans chaque cas.
Deux des trois obstacles laissent subsister une propriété géométrique de la courbe au point considéré. Laquelle, et pour lesquels ?
Montrer que la fonction 4 est dérivable en $0$ et calculer $k^{\prime}(0)$ .
Calculer $k^{\prime}(x)$ pour $x\neq 0$ , puis établir que $k^{\prime}$ n’admet pas de limite en $0$ . Conclure : la fonction $k$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ tout entier, et sa dérivée n’est pas continue.

3. Trois indications

Pour la fonction 2, le taux d’accroissement en $0$ se simplifie en une puissance de $h$ à exposant négatif. Il ne faut pas conclure trop vite à l’absence de limite : la limite existe dans $\overline{\mathbb{R}}$ , et c’est justement pour cela que la définition exige une limite finie.

Pour la fonction 3, le taux d’accroissement en $0$ vaut exactement $\sin\left(\dfrac{1}{h}\right)$ . On a déjà rencontré cette expression, dans l’exercice du 14 septembre, et les deux suites qui y servaient servent encore.

Pour la fonction 4, la dérivée en dehors de $0$ fait apparaître un terme en $\cos\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right)$ multiplié par une puissance négative de $x$ . C’est ce terme qui empêche toute limite.

4. Ce que la cinquième question met en jeu

Elle vaut à elle seule l’exercice, car elle ruine une confusion très répandue. On sait qu’une fonction dérivable est continue ; on en conclut, à tort, qu’une fonction dérivable a une dérivée continue. Les deux énoncés n’ont rien à voir, et le second est faux.

La distinction a un nom et une notation : une fonction dont la dérivée existe et est continue est dite de classe $\mathcal{C}^{1}$ , et cette classe est strictement plus petite que celle des fonctions dérivables. La quatrième fonction de l’exercice est le témoin standard de cette inclusion stricte.

L’écart n’est pas une curiosité d’école. La plupart des théorèmes d’analyse — formule de Taylor avec reste intégral, théorèmes d’inversion locale, résolution des équations différentielles — exigent la classe $\mathcal{C}^{1}$ et non la simple dérivabilité. Un énoncé qui dit « soit $f$ de classe $\mathcal{C}^{1}$ » ne dit pas « soit $f$ dérivable », et l’exercice montre pourquoi la précision n’est pas décorative.

Les points anguleux, les tangentes verticales et les fonctions de classe $\mathcal{C}^{1}$ relèvent des fonctions numériques d’une variable réelle, auxquelles sera consacré le Volume II du Discours formel sur les mathématiques pour le secondaire, en préparation.

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