Une transformation n’est pas un geste : ce qu’est une application affine

« Faites glisser le triangle de trois carreaux vers la droite. » « Faites-le tourner d’un quart de tour autour du point O. » C’est souvent ainsi que l’on présente les transformations du plan, et l’élève qui suit la consigne déplace un calque, ou la pointe de son crayon. Mais le plan ne bouge pas, et un point ne se déplace pas : il n’a ni vitesse, ni trajectoire, ni position de départ. Ce que l’on appelle l’image d’un point est la valeur d’une fonction en ce point, et rien d’autre. Une transformation n’est pas un geste. C’est une application, et ce que le geste laissait voir doit alors se démontrer.

Cet article ouvre la série Transformer le plan, tirée du dernier chapitre de Discours formel sur les mathématiques pour le secondaire, Volume I. Dans cet ouvrage, un vecteur du plan est un couple de nombres réels ; le parti pris est le même que celui qu’examinait, pour l’espace, « Vecteurs de l’espace : la définition scolaire et ce qu’elle cache ». Le mot affine a déjà servi sur ce blog, pour un chiffrement où il désigne une fonction x ↦ ax + b sur les restes modulo 26 : c’est l’analogue, à une dimension, de ce qui suit. L’article du 6 novembre, « Barycentres : trois points suffisent », montrera qu’une application affine est connue dès qu’on connaît les images de trois points ; celui du 8 novembre, « D’où viennent x′ = ax + cy + s, et pourquoi ad – bc ne doit pas être nul », en tirera les formules.

1. Un repère, et des couples de nombres

Le Volume I construit le plan euclidien $\mathbb{P}$ par des axiomes, à partir de la distance. Pour y calculer, il le rapporte à un repère cartésien $(O,I,J)$ : trois points non alignés, rien de plus. Aucun angle droit n’est exigé, aucune unité commune aux deux axes. Chaque point $M$ reçoit alors un couple de coordonnées $(x_{M},y_{M})$ , et le vecteur allant d’un point $A$ vers un point $B$ est, par définition, le couple de nombres

$\displaystyle \overrightarrow{AB}=(x_{B}-x_{A},\,y_{B}-y_{A}).$

Cette définition a une conséquence que la présentation scolaire laisse dans l’ombre : le vecteur $\overrightarrow{AB}$ dépend du repère choisi. Prenez un second repère $(O,I_{2},J)$ , où $I_{2}$ est placé sur la demi-droite $[OI)$ à une distance de $O$ double de $OI$ ; le vecteur $\overrightarrow{OI_{2}}$ , qui vaut $(1,0)$ dans ce repère, vaut $(2,0)$ dans le premier. C’est pourquoi presque chaque énoncé du chapitre commence par « le plan étant rapporté à un repère cartésien ».

Les vecteurs servent d’abord à dire l’alignement. L’ouvrage démontre, dans le chapitre Plan vectoriel euclidien, que si $A$ et $B$ sont distincts, un point $C$ appartient à la droite $(AB)$ si et seulement s’il existe un réel $\lambda$ tel que $\overrightarrow{AC}=\lambda\cdot\overrightarrow{AB}$ . Ce nombre $\lambda$ s’appelle le coefficient de colinéarité du triplet $(A,B,C)$ . Pour $A(0,0)$ , $B(1,0)$ et $C(3,0)$ , il vaut $3$ : le point $C$ est trois fois plus loin de $A$ que $B$ , et du même côté.

2. Que demande la définition ?

Définition. Le plan étant rapporté à un repère cartésien, une application $f:\mathbb{P}\rightarrow\mathbb{P}$ est dite affine si elle conserve les coefficients de colinéarité : pour tous points $A$ , $B$ , $C$ et tout réel $\lambda$ , l’égalité $\overrightarrow{AC}=\lambda\cdot\overrightarrow{AB}$ entraîne $\overrightarrow{f(A)f(C)}=\lambda\cdot\overrightarrow{f(A)f(B)}$ .

Rien ne bouge dans cette définition. Elle demande une seule chose : que le nombre $\lambda$ attaché à trois points alignés se retrouve, intact, entre leurs images. La conservation des milieux en découle aussitôt. L’ouvrage établit qu’un point $M$ est le milieu de $[AB]$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{AB}$ ; une application affine donne alors $\overrightarrow{f(A)f(M)}=\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{f(A)f(B)}$ , et $f(M)$ est le milieu de $[f(A)f(B)]$ .

Trois exemples montrent que la définition accueille des applications qui n’ont rien d’un geste. L’application constante, qui envoie tout le plan sur un même point, est affine : tous les vecteurs $\overrightarrow{f(A)f(C)}$ et $\overrightarrow{f(A)f(B)}$ sont nuls, et $\lambda\cdot\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$ . L’application $p$ qui envoie le point de coordonnées $(x,y)$ sur le point de coordonnées $(x,0)$ l’est aussi. En effet, si $\overrightarrow{AC}=\lambda\cdot\overrightarrow{AB}$ , alors $x_{C}-x_{A}=\lambda(x_{B}-x_{A})$ , d’où

$\displaystyle \overrightarrow{p(A)p(C)}=(x_{C}-x_{A},\,0)=\lambda\cdot(x_{B}-x_{A},\,0)=\lambda\cdot\overrightarrow{p(A)p(B)}.$

Elle écrase le plan sur l’axe des abscisses. Le troisième exemple ressemble davantage à ce qu’on attend : l’application $f$ qui envoie $(x,y)$ sur $(2x+y+2,\;x+2y+2)$ . Les points $A(0,0)$ , $B(1,0)$ , $D(2,0)$ et $C(3,0)$ , régulièrement espacés, ont pour images $(2,2)$ , $(4,3)$ , $(6,4)$ et $(8,5)$ ; on a bien $\overrightarrow{A^{\prime}C^{\prime}}=(6,3)=3\cdot(2,1)=3\cdot\overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}$ , et les images restent régulièrement espacées. Qu’il en soit ainsi pour tous les triplets, et pas seulement pour celui-ci, se démontrera dans l’article du 8 novembre.

3. L’image d’une droite

Proposition 1. Soient $f$ une application affine du plan, $A$ et $B$ deux points distincts, $A^{\prime}=f(A)$ et $B^{\prime}=f(B)$ . Si $A^{\prime}=B^{\prime}$ , l’image de la droite $(AB)$ est le singleton $\{A^{\prime}\}$ . Si $A^{\prime}\neq B^{\prime}$ , c’est la droite $(A^{\prime}B^{\prime})$ .

Démonstration. Soit $M$ un point de $(AB)$ et $M^{\prime}=f(M)$ . Il existe un réel $\lambda$ tel que $\overrightarrow{AM}=\lambda\cdot\overrightarrow{AB}$ , et donc $\overrightarrow{A^{\prime}M^{\prime}}=\lambda\cdot\overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}$ .

Si $A^{\prime}=B^{\prime}$ , le vecteur $\overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}$ est nul, donc $\overrightarrow{A^{\prime}M^{\prime}}$ aussi, et $M^{\prime}=A^{\prime}$ : toute la droite est envoyée sur le seul point $A^{\prime}$ .

Si $A^{\prime}\neq B^{\prime}$ , l’égalité $\overrightarrow{A^{\prime}M^{\prime}}=\lambda\cdot\overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}$ dit que $M^{\prime}$ appartient à $(A^{\prime}B^{\prime})$ ; l’image de $(AB)$ est donc contenue dans $(A^{\prime}B^{\prime})$ . Il reste l’inclusion inverse. Soit $N^{\prime}$ un point de $(A^{\prime}B^{\prime})$ : il existe un réel $\alpha$ tel que $\overrightarrow{A^{\prime}N^{\prime}}=\alpha\cdot\overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}$ . Soit $N$ le point de coordonnées $(x_{A}+\alpha(x_{B}-x_{A}),\;y_{A}+\alpha(y_{B}-y_{A}))$ , de sorte que $\overrightarrow{AN}=\alpha\cdot\overrightarrow{AB}$ . Ce point est sur $(AB)$ , et $\overrightarrow{A^{\prime}f(N)}=\alpha\cdot\overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}=\overrightarrow{A^{\prime}N^{\prime}}$ . Deux points vers lesquels mène le même vecteur issu de $A^{\prime}$ sont confondus : $f(N)=N^{\prime}$ . Tout point de $(A^{\prime}B^{\prime})$ a donc un antécédent sur $(AB)$ . $\quad\Box$

C’est cette seconde inclusion que la figure ne montre pas. On y voit des images posées sur une droite ; on n’y voit pas que chaque point de cette droite est atteint. Il a fallu, pour l’établir, construire l’antécédent.

4. La réciproque est fausse

Les deux applications de cette section sont un ajout de cet article. On pourrait croire que la proposition 1 caractérise les applications affines, et qu’il suffit, pour en reconnaître une, de vérifier qu’elle envoie les droites sur des droites. C’est faux. Soit $h$ l’application qui envoie $(x,y)$ sur $(x^{3},0)$ . L’image d’une droite verticale d’équation $x=c$ est le seul point $(c^{3},0)$ ; sur toute autre droite, l’abscisse $x$ prend toutes les valeurs réelles, $x^{3}$ aussi, et l’image est l’axe des abscisses tout entier. Chaque droite a pour image une droite ou un point. Pourtant les points $(0,0)$ , $(1,0)$ et $(2,0)$ ont pour images $(0,0)$ , $(1,0)$ et $(8,0)$ : le milieu n’est pas conservé, car le milieu de $(0,0)$ et $(8,0)$ est $(4,0)$ .

L’application $g$ qui envoie $(x,y)$ sur $(x^{3},y)$ est plus instructive encore, parce qu’elle est bijective : sa réciproque envoie $(x,y)$ sur $(\sqrt[3]{x},y)$ . Elle laisse chaque droite horizontale globalement en place, et conserve donc l’alignement des points qui s’y trouvent, mais pas leurs coefficients de colinéarité : la figure ci-dessous le montre sur les mêmes trois points. Elle courbe en revanche la droite d’équation $y=x$ , dont les points $(0,0)$ , $(1,1)$ et $(2,2)$ deviennent $(0,0)$ , $(1,1)$ et $(8,2)$ . Ces trois images ne sont pas alignées : si l’on avait $(8,2)=\mu\cdot(1,1)$ , il faudrait $\mu=8$ et $\mu=2$ .

Deux panneaux. À gauche, quatre points A, B, D, C équidistants sur une droite et leurs images A′, B′, D′, C′, équidistantes sur une autre droite. À droite, trois points de l'axe des abscisses dont deux restent fixes et le troisième est envoyé loin à droite, une croix marquant le vrai milieu ; une droite oblique et la courbe qui en est l'image. — À gauche, l’application affine f(x, y) = (2x + y + 2, x + 2y + 2) : quatre points alignés et régulièrement espacés gardent des images alignées et régulièrement espacées, et le coefficient 3 est conservé. À droite, g(x, y) = (x³, y) : E et M restent en place, F part en F′, et M′ n’est plus le milieu de [E′F′] ; la droite y = x devient la courbe x = y³.

Ces deux exemples ne sont pas fortuits. Une bijection du plan qui envoie toute droite sur une droite est nécessairement affine : c’est le théorème fondamental de la géométrie affine, dont la démonstration repose sur ce que l’identité est le seul automorphisme du corps $\mathbb{R}$ . Nous admettons ce théorème. Il explique pourquoi $g$ , qui est bijective, devait courber au moins une droite, et pourquoi $h$ , qui envoie toute droite sur une droite ou sur un point, devait renoncer à être bijective. La définition par les coefficients de colinéarité évite ce détour : elle ne laisse passer ni l’une ni l’autre.

5. Le mot « transformation »

Définition. Une transformation du plan est une application bijective du plan euclidien vers lui-même.

Du sens courant du mot, il ne reste rien : une transformation est une bijection, et une transformation affine est une bijection qui conserve les coefficients de colinéarité. Pour elle, le premier cas de la proposition 1 ne se présente jamais : deux points distincts ont des images distinctes, et l’image d’une droite est toujours une droite.

Pourquoi l’ouvrage prend-il la peine de séparer les deux notions ? Parce que des applications affines utiles ne sont pas bijectives. L’application $p$ de la section 2 envoie $(0,0)$ et $(0,1)$ sur le même point ; c’est un cas particulier des projections que le chapitre étudie plus loin. Les résultats généraux, sur les barycentres et sur les points invariants, valent pour elle comme pour les transformations, et il serait dommage de les démontrer deux fois.

La composée de deux applications affines est affine ; l’ouvrage en laisse la preuve au lecteur, et elle tient en une ligne. Soient $f$ et $k$ affines. Si $\overrightarrow{AC}=\lambda\cdot\overrightarrow{AB}$ , alors $\overrightarrow{f(A)f(C)}=\lambda\cdot\overrightarrow{f(A)f(B)}$ puisque $f$ est affine, puis, en appliquant $k$ au triplet $(f(A),f(B),f(C))$ , $\overrightarrow{k(f(A))k(f(C))}=\lambda\cdot\overrightarrow{k(f(A))k(f(B))}$ . $\quad\Box$

6. Ce que la définition contient déjà

Le chapitre s’ouvre sur une phrase d’Alain : « La ligne droite n’est pas, je la trace parce que je la veux. » La transformation non plus n’est pas dans le geste qui la dessine. Elle est dans une exigence très pauvre en apparence, qui ne parle que de trois points alignés à la fois.

Cette exigence suffit pourtant à tout fixer. Une application affine conserve non seulement les milieux, mais tous les barycentres, et elle est entièrement connue dès qu’on connaît les images de trois points non alignés : c’est l’objet de l’article du 6 novembre, « Barycentres : trois points suffisent ». Celui du 8 novembre, « D’où viennent x′ = ax + cy + s, et pourquoi ad – bc ne doit pas être nul », en déduira l’expression en coordonnées, montrera que la vérification commencée à la section 2 vaut pour tous les triplets, et dira ce qui, dans une application affine, dépend du repère et ce qui n’en dépend pas.

Cet article suit le chapitre Applications affines du plan euclidien de Discours formel sur les mathématiques pour le secondaire, Volume I. L’ouvrage reparaîtra en décembre 2026 sous le titre Discours formel sur les mathématiques : une passerelle entre le secondaire et le supérieur, avec son Volume II, chacun accompagné d’un fascicule de corrigés des exercices. Les applications $h$ et $g$ de la section 4 et la mention du théorème fondamental de la géométrie affine sont ajoutées ici.

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Une transformation n’est pas un geste : ce qu’est une application affine

1. Un repère, et des couples de nombres

2. Que demande la définition ?

3. L’image d’une droite

4. La réciproque est fausse

5. Le mot « transformation »

6. Ce que la définition contient déjà

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1. Un repère, et des couples de nombres

2. Que demande la définition ?

3. L’image d’une droite

4. La réciproque est fausse

5. Le mot « transformation »

6. Ce que la définition contient déjà

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