Une boîte contient dix masses marquées 1, 2, 4, 8, et ainsi de suite jusqu’à 512 grammes. Avec une balance à deux plateaux, elles suffisent à équilibrer tout objet dont la masse est un nombre entier de grammes compris entre 1 et 1023. Un exercice de Mathématiques en terminales scientifiques (Tome 2) le démontre, et sa démonstration est le théorème de numération en base deux, transporté sur une balance. Deux questions restent ouvertes après lui. Pouvait-on se contenter de moins de masses ? Des masses autrement choisies feraient-elles mieux ? À la première, la réponse est non, et ces dix masses sont même les seules qui conviennent. À la seconde, la réponse est oui, pourvu qu’on accepte de poser des masses sur les deux plateaux.

Cet article est le treizième de la série Écrire un nombre, tirée du même ouvrage. Il applique le théorème de « Dix doigts, et un théorème », paru le 8 octobre, et retrouve les puissances de deux de « Multiplier par doublements : ce que fait le processeur », paru le 30 octobre.

1. L’exercice et son corrigé

Les masses valent , , …, grammes. La plus grande masse que l’on puisse équilibrer est leur somme,

Le Tome 2 obtient l’égalité par la factorisation de ; c’est aussi le cas où tous les chiffres sont maximaux dans le lemme de l’article du 8 octobre, et .

Soit maintenant un objet de grammes, avec . L’entier s’écrit en base deux, et son écriture a au plus dix chiffres, puisque . Elle désigne un ensemble de puissances de deux distinctes, toutes inférieures ou égales à , dont la somme vaut . On pose ces masses sur un plateau et l’objet sur l’autre. Pour , ce sont les masses de , et gramme. Le corrigé du Tome 2 s’arrête là.

2. Une pesée, et une seule

Le théorème de numération ne dit pas seulement que la pesée existe : il dit qu’elle est unique. Deux choix différents de masses donneraient deux écritures différentes de en base deux, ce qui est exclu. Les parties de l’ensemble des dix masses, la partie vide comprise, donnent donc sommes distinctes, et ce sont exactement les entiers de à . Aucune masse n’est atteinte deux fois, aucune n’est oubliée.

C’est le décompte de l’article du 8 octobre, vu dans l’autre sens : là, on comptait les écritures pour en déduire qu’elles atteignaient tous les entiers ; ici, on sait qu’elles les atteignent, et le compte dit qu’elles le font sans répétition.

3. Pourrait-on s’en tirer avec neuf masses ?

Les sections qui suivent sortent du Tome 2. Tant que les masses vont toutes sur le plateau opposé à l’objet, une pesée est le choix d’une partie non vide de la boîte. Avec masses, il y a parties non vides, donc au plus valeurs différentes. Neuf masses ne peuvent ainsi équilibrer qu’au plus objets de masses distinctes, et il en faut . Dix masses sont un minimum.

4. Les seules dix masses possibles

Le minimum n’est pas seulement atteint par les puissances de deux : il n’est atteint que par elles.

Proposition. Soient des masses entières, non nulles, qui permettent d’équilibrer, en les posant sur un seul plateau, tout objet de à grammes. Alors pour tout .

Démonstration. Chacune des valeurs de à est la somme d’au moins une partie non vide, et il n’y a que parties non vides. Chaque partie sert donc à une valeur et une seule : deux parties différentes ont des sommes différentes. Montrons alors par récurrence que , …, valent , , …, . Pour peser gramme, il faut une masse de gramme, donc . Supposons le résultat acquis jusqu’au rang . Les parties de ont alors pour sommes tous les entiers de à .

• Si , la masse seule a la même valeur qu’une partie de : deux parties différentes ont la même somme, ce qui est exclu.
• Si , la valeur , qui ne dépasse pas , ne peut être pesée : les parties de donnent au plus , et toute autre partie contient une masse au moins égale à .

Il reste .

L’unicité de l’écriture binaire est donc plus qu’une commodité de l’exemple. Elle est forcée par l’économie : dès qu’on veut le plus grand nombre de pesées avec le moins de masses, il ne peut y avoir ni doublon ni trou, et l’on retombe sur la base deux.

5. Des masses sur les deux plateaux

Autorisons maintenant les masses à côté de l’objet. Si l’objet de grammes partage son plateau avec les masses d’un ensemble , face aux masses d’un ensemble , l’équilibre s’écrit , c’est-à-dire , où désigne la somme des masses de . Chaque masse a désormais trois places possibles : avec l’objet, en face, ou dans la boîte. Avec masses, il y a configurations. Une configuration et sa symétrique donnent des valeurs opposées, et la configuration vide donne zéro ; on peut donc espérer au plus valeurs positives.

Les puissances de deux ne profitent pas de cette liberté. On ne peut toujours pas dépasser grammes, la somme de toutes les masses, et les nouvelles configurations ne font que répéter des valeurs : un gramme se pèse de dix façons, , , , et ainsi de suite jusqu’à .

Les puissances de trois, elles, atteignent la borne. Avec , , et grammes, on pèse tout objet de à grammes, et chacun d’une seule façon :

Pour grammes, on pose l’objet avec la masse de grammes, et en face celles de et de : . Trois masses ne suffiraient pas, puisque . On appelle cette question le problème de Bachet, du nom de Claude-Gaspard Bachet de Méziriac — celui-là même que le Tome 2 cite à propos du théorème de Bézout —, qui l’a publiée en 1624 dans la deuxième édition de ses Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres. Fibonacci posait déjà celle des quatre poids pesant quarante livres dans son Liber abaci, au XIII^e siècle.

6. Une base trois avec des chiffres négatifs

Ce qui vient de se produire est une numération. Une masse en face de l’objet compte pour , une masse à côté de lui pour , une masse restée dans la boîte pour , et la pesée de grammes est l’écriture .

Théorème. Soit un entier naturel non nul. Tout entier tel que s’écrit d’une seule façon , avec pour tout .

Démonstration. Posons . Le lemme de l’article du 8 octobre, en base trois, donne , donc . Ajouter à une écriture de augmente chaque chiffre de un :

Les écritures de à chiffres dans correspondent donc exactement aux écritures ordinaires de en base trois avec chiffres, zéros de tête admis. Or , et le théorème du 8 octobre assure qu’un tel entier a une et une seule écriture de ce type.

Pour et , on a et ; en retranchant un à chaque chiffre, on retrouve . Le calcul de la pesée se fait donc en base trois ordinaire, à un décalage près. Avec dix masses de à grammes, on pèse jusqu’à grammes, contre avec les puissances de deux.

Cette « base trois équilibrée » a eu sa machine : l’ordinateur Setun, construit en 1958 à l’université d’État de Moscou par Nikolaï Broussentsov et Sergueï Sobolev, calculait avec les chiffres , et . Dans cette numération, passer d’un nombre à son opposé revient à changer le signe de chacun de ses chiffres, comme on fait passer chaque masse d’un plateau à l’autre. Le dernier article de la série, « Les chiffres en base p savent compter les facteurs premiers », qui paraît le 3 novembre, montre que les chiffres d’un nombre disent davantage encore : combien de fois un nombre premier divise une factorielle.

---

L’exercice Puissances de 2 et balance ouvre la section Compter, mesurer et peser des exercices d’évaluation des compétences de Mathématiques en terminales scientifiques (Tome 2) ; son corrigé établit la masse maximale et la possibilité de toutes les pesées, les masses étant posées sur un seul plateau. L’unicité de la pesée, le minimum de dix masses, l’unicité du jeu de masses, la pesée sur deux plateaux, le problème de Bachet et la base trois équilibrée sont ajoutés ici.