« Un vecteur est un segment orienté. » La phrase ouvre le chapitre dans presque tous les manuels, et elle est fausse dès la page suivante — celle où l’on écrit que deux segments orientés différents peuvent être le même vecteur. Deux constructions correctes existent pour réparer cela. Elles ne se ressemblent pas, elles ne coûtent pas la même chose, et l’ouvrage dont cette série est tirée choisit la seconde.

L’article poursuit la série Du point à l’espace. Il suppose acquises les trois formes de parallélisme exposées dans Trois parallélismes, et non un seul, et il croise le fil Aux fondations du même trimestre, où le passage au quotient est traité pour lui-même.

1. La contradiction de la première page

Prenons la définition au sérieux. Si un vecteur est un segment orienté, alors deux segments orientés distincts sont deux vecteurs distincts. Or, dans un parallélogramme , le manuel écrit sans hésiter . Les segments et sont pourtant distincts : ils n’ont pas les mêmes extrémités, et pas un point en commun. L’égalité écrite contredit la définition donnée.

On rattrape généralement l’affaire par une formule : « un vecteur a une direction, un sens et une longueur, mais pas de position ». La formule décrit correctement le comportement de l’objet ; elle ne dit pas ce qu’il est. Un objet mathématique n’est pas défini par la liste de ce qu’on néglige en lui.

2. Première construction : le quotient par l’équipollence

Appelons bipoint un couple de points de l’espace — un segment orienté, donc, extrémités comprises. On définit sur la collection des bipoints la relation d’équipollence :

lorsque les segments et ont le même milieu.

La formulation par les milieux est préférable à « est un parallélogramme », car elle reste valable dans les cas dégénérés : points confondus, ou quatre points alignés, où il n’y a pas de parallélogramme à montrer. La réflexivité et la symétrie sont immédiates ; la transitivité est le seul point de travail, et elle repose sur le parallélisme — donc, en dernière analyse, sur l’axiome des parallèles.

Un vecteur est alors, par définition, une classe d’équivalence de bipoints, et désigne la classe du bipoint . L’égalité cesse d’être un abus : elle dit que deux classes coïncident. Et la formule « un vecteur n’a pas de position » reçoit enfin sa traduction exacte : une classe n’a pas de représentant privilégié.

3. Seconde construction : les coordonnées d’abord

C’est la voie de Du Point à l’Espace, et elle prend le problème par l’autre bout. On se donne d’abord un repère cartésien , puis on démontre que l’application qui associe à chaque point ses trois coordonnées

est une bijection. Ce n’est pas une évidence de notation : c’est une proposition, et sa démonstration mobilise l’existence du point d’abscisse donnée sur une droite graduée, puis, trois fois, l’intersection de deux parallèles bien choisies. Elle a un effet secondaire remarquable, que l’ouvrage relève au passage : elle prouve que la collection des points de l’espace est un ensemble au sens de Zermelo et Fraenkel.

On munit ensuite de l’addition composante par composante et de la multiplication par un réel. L’ensemble obtenu est un espace vectoriel, et — c’est la définition retenue — ses éléments, les triplets de réels, sont les vecteurs. Pour deux points et , on pose

L’égalité devient une égalité de triplets, c’est-à-dire trois égalités de nombres réels. Il n’y a plus rien à interpréter. L’ouvrage nomme principe de dualité la correspondance ainsi établie entre l’espace d’Euclide et l’espace vectoriel des triplets ; c’est elle qui met les commodités de l’algèbre au service d’une géométrie construite, elle, sur des axiomes.

4. Ce que chaque voie coûte

La première voie est intrinsèque : aucun choix arbitraire n’y intervient, le vecteur est défini avant toute coordonnée. Elle coûte un quotient — c’est-à-dire l’acceptation qu’un objet mathématique puisse être un ensemble d’autres objets —, et une démonstration de transitivité qui n’est pas anodine.

La seconde est opératoire : tout est calculable dès la première ligne, et la structure d’espace vectoriel est donnée, non construite. Elle coûte un repère. Et là se loge l’objection qu’il faut affronter en face : le triplet dépend du repère choisi. Changez de repère, les trois nombres changent.

La réponse est que les énoncés géométriques, eux, ne changent pas. « Les droites et sont parallèles si et seulement si les triplets et sont colinéaires », ou « est le milieu de si et seulement si » : ces équivalences sont vraies dans tout repère, parce que le membre de gauche n’en mentionne aucun. Le repère est un échafaudage, pas une partie de l’édifice.

Les deux voies aboutissent au même objet, et il vaut la peine de dire pourquoi : l’application qui à la classe de associe le triplet des différences de coordonnées est bien définie — deux bipoints équipollents donnent le même triplet —, et c’est une bijection compatible avec l’addition. Les « classes de bipoints » et les « triplets » sont deux noms d’une seule structure.

5. Pourquoi cette question n’est pas d’école

Parce que le vecteur est, dans le cursus, la première rencontre avec un objet défini par quotient. L’élève à qui l’on n’explique pas ce mécanisme devra le redécouvrir seul à chaque étage : les entiers relatifs comme classes de couples d’entiers naturels, les rationnels comme classes de fractions, les réels comme classes de suites de Cauchy. C’est toujours le même geste, et il n’est jamais nommé.

Et parce que la formulation par coordonnées, si commode soit-elle, invite à confondre l’espace avec . Ce sont deux choses distinctes reliées par une bijection, et cette bijection dépend d’un choix. La distinction sera reprise dans le dernier article de la série, consacré au repère.

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Le repère cartésien, la bijection et la définition des vecteurs comme triplets de réels occupent la section 3 de l’annexe A de Du Point à l’Espace. La construction par équipollence n’y figure pas : elle est exposée ici pour la comparaison.