« La fonction n’est pas continue en ce point. » Cette phrase seule ne dit pas tout : elle ne précise pas ce qui empêche la continuité. Or il y a plusieurs manières d’échouer, et savoir laquelle est à l’œuvre change ce que l’on peut réparer. Les quatre fonctions qui suivent échouent chacune à sa façon.

Cet exercice poursuit la série Tout tient à la limite. Les trois définitions employées — par ε et δ, par les voisinages, par les suites — sont celles de l’article précédent, et l’une des questions porte précisément sur le choix de la bonne. Le corrigé paraîtra dans deux jours.

1. Les quatre fonctions

Fonction 1. Sur , on pose si , et si . Point étudié : .

Fonction 2. Sur , on pose si , et . Point étudié : .

Fonction 3. Sur , on pose si , et . Point étudié : .

Fonction 4. Sur , on pose si est rationnel, et sinon. Points étudiés : tous.

2. Ce qui est demandé

1. Établir, pour chacune, qu’elle n’est pas continue au point indiqué, en revenant à l’une des trois définitions.
2. Nommer le défaut dans chaque cas, et dire lequel des quatre se répare en modifiant la valeur de la fonction en un seul point.
3. Pour chaque fonction, indiquer laquelle des trois définitions mène à la conclusion le plus rapidement, et justifier ce choix.
4. La fonction 3 admet-elle une limite en ? La fonction 1 en admet-elle une ? Distinguer les deux situations.
5. La fonction 4 est discontinue en tout point. Montrer que la fonction définie par est, elle, continue en un point exactement.

3. Deux indications

Pour la fonction 3, chercher deux suites qui tendent vers et sur lesquelles le sinus prend des valeurs constantes différentes. Les réels de la forme et font l’affaire.

Pour la fonction 4, se souvenir que tout intervalle ouvert non vide contient à la fois des rationnels et des irrationnels. Le blog a établi la densité de plusieurs parties de la droite réelle dans Deux parties denses de la droite réelle.

4. Pourquoi nommer le défaut

La deuxième question est le cœur de l’exercice, et elle a une portée pratique. Un seul des quatre défauts se répare : celui où la fonction possède bien une limite au point considéré, mais où la valeur qu’on lui a attribuée ne coïncide pas avec elle. On parle alors de discontinuité apparente, ou artificielle, et il suffit de redonner à la fonction la valeur de sa limite pour la rendre continue.

Les trois autres résistent, et pour des raisons qui ne se confondent pas. Dans un cas, la fonction admet deux limites distinctes selon le côté par lequel on approche. Dans un autre, elle n’admet aucune limite, tout en restant bornée. Dans le dernier, l’échec est total et se produit partout à la fois.

Dire « la fonction n’est pas continue » range ces quatre situations dans le même tiroir. C’est exact, et c’est une perte d’information. La cinquième question montre à quel point : en multipliant par la pire des quatre, on obtient une fonction continue en un point précisément, ce qui serait incompréhensible si « discontinue partout » était le dernier mot.

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Les types de discontinuité et le prolongement par continuité relèvent des fonctions numériques d’une variable réelle, auxquelles sera consacré le Volume II du Discours formel sur les mathématiques pour le secondaire, en préparation.