Retournez un journal ou une revue : quelque part sur la couverture figure un numéro de huit caractères, deux groupes de quatre séparés par un tiret, précédés des lettres ISSN. Les sept premiers caractères identifient la publication. Le huitième ne lui apprend rien ; il est calculé à partir des sept autres et sert à détecter les erreurs de saisie. C’est parfois un chiffre, parfois la lettre X. Une lettre au milieu de chiffres, là où l’on attendait un simple reste, a une raison arithmétique précise, et cet exercice conduit à la trouver.

Cet article est le neuvième de la série Écrire un nombre, tirée de Mathématiques en terminales scientifiques (Tome 2). Il ne demande que le calcul des congruences, employé dans « Les six critères de divisibilité sont un seul critère », paru le 18 octobre, et l’inverse modulaire, objet d’un article sur le chiffrement affine. Le corrigé paraît le 26 octobre.

La règle de calcul

Un numéro ISSN s’écrit –. Les sept premiers caractères sont des chiffres. Le huitième, , est la clé de contrôle ; elle est prise parmi les onze caractères , , …, et , où représente le nombre . Pour la déterminer, on calcule

puis le reste de la division euclidienne de par . Ce reste est la clé.

Question 1 — Une clé à retrouver

Le magazine de la Société mathématique européenne, EMS Magazine, a pour ISSN –. Retrouvez sa clé de contrôle en détaillant le calcul.

Question 2 — Une clé à calculer

Les sept premiers caractères d’un numéro ISSN sont –. Déterminez la clé de contrôle.

Question 3 — Un caractère illisible

Sur un exemplaire du quotidien Le Monde, un caractère du numéro ISSN est illisible. On le note , et le numéro se lit –.

(a) Exprimez en fonction de .

(b) Déduisez-en que .

(c) Déduisez-en la valeur de .

Question 4 — Une règle symétrique

Montrez que la clé est l’unique entier compris entre et tel que soit un multiple de . Vérifiez-le sur le numéro de la Gazette des mathématiciens, –.

Question 5 — Une faute de frappe

Un des huit caractères d’un numéro ISSN correct est remplacé par un autre caractère, tous les autres restant inchangés. Montrez que le numéro obtenu n’est jamais un numéro ISSN correct : l’erreur est toujours détectée.

Question 6 — Deux caractères échangés

Deux caractères distincts d’un numéro ISSN correct sont échangés, qu’ils soient voisins ou non. L’erreur est-elle toujours détectée ?

Question 7 — Et modulo 10 ?

On imagine une variante sans lettre : mêmes coefficients, mais la clé est le reste de dans la division par .

(a) Trouvez deux suites de sept chiffres qui ne diffèrent que par un seul chiffre et qui ont la même clé.

(b) Peut-on choisir d’autres coefficients pour que, modulo , toute faute de frappe sur un chiffre et tout échange de deux chiffres voisins soient détectés ? Indication : regardez la parité des coefficients.

Le corrigé paraît le 26 octobre. Il y joint un autre code de contrôle proposé par l’ouvrage, calculé modulo , pour voir ce qu’il laisse passer.

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Les questions 1 à 3 sont l’exercice Le numéro ISSN de la section Chiffrement et cryptographie des exercices d’évaluation des compétences de Mathématiques en terminales scientifiques (Tome 2). Les questions 4 à 7 sont ajoutées ici.