Fermat s’est trompé, et son erreur a produit un théorème

Trois, cinq, dix-sept, deux cent cinquante-sept, soixante-cinq mille cinq cent trente-sept. Chacun s’obtient en élevant deux à une puissance de deux, puis en ajoutant un, et chacun est premier. Fermat, dans sa correspondance à partir de 1640, affirme qu’il en va de même de tous les nombres ainsi construits. Le suivant a dix chiffres, quatre milliards deux cent quatre-vingt-quatorze millions neuf cent soixante-sept mille deux cent quatre-vingt-dix-sept, et Euler montre en 1732 qu’il est divisible par six cent quarante et un. La conjecture est fausse. Les nombres qu’elle concernait ont pourtant une propriété que Fermat n’avait pas vue, et qui suffit à redémontrer l’infinité des nombres premiers.

Cet article est le neuvième de la série Le peuple des nombres premiers, tirée de Mathématiques en terminales scientifiques (Tome 2). Il donne la troisième preuve de l’infinité des nombres premiers annoncée dans « Il y en a toujours un de plus : la preuve d’Euclide, relue de près », paru le 9 octobre, après celle d’Euclide et la preuve topologique publiée sur le blog en 2021. Il reprend, pour deux puissance n plus un, la démarche suivie pour deux puissance n moins un dans « Mersenne : 2ⁿ − 1 ne peut être premier que si n l’est, et la réciproque est fausse », paru le 19 octobre, et emploie comme lui le petit théorème de Fermat.

1. Pourquoi une puissance de deux à l’exposant

Le Tome 2 appelle nombre de Fermat tout entier $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ , où $n\in\mathbb{N}$ . La double exponentielle surprend ; elle a une raison, qui ne figure pas dans l’ouvrage et que voici. La proposition suivante est ajoutée ici.

Proposition 1. Soit $m\geq 1$ . Si $2^{m}+1$ est premier, alors $m$ est une puissance de $2$ .

Démonstration. Un entier $m\geq 1$ qui n’est pas une puissance de $2$ possède un diviseur impair $c\geq 3$ ; écrivons $m=bc$ . Pour $c$ impair, l’identité $x^{c}-y^{c}=(x-y)\bigl(x^{c-1}+x^{c-2}y+\cdots+y^{c-1}\bigr)$ , appliquée à $y=-1$ , donne

$\displaystyle x^{c}+1=(x+1)\bigl(x^{c-1}-x^{c-2}+\cdots-x+1\bigr).$

Avec $x=2^{b}$ , le nombre $2^{b}+1$ divise $2^{m}+1$ , et il est compris strictement entre $1$ et $2^{m}+1$ puisque $b<m$ . Le nombre $2^{m}+1$ n’est donc pas premier. $\quad\Box$

C’est le pendant exact du théorème sur $2^{n}-1$ : une condition nécessaire sur l’exposant. Par exemple $2^{6}+1=65=5\times 13$ , où $5=2^{2}+1$ provient du diviseur impair $3$ de $6$ . Les nombres premiers de la forme $2^{m}+1$ sont à chercher parmi les $F_{n}$ . Et là encore, la réciproque est fausse.

2. Cinq nombres premiers, puis 641

On a $F_{0}=3$ , $F_{1}=5$ , $F_{2}=17$ , $F_{3}=257$ et $F_{4}=65537$ . Les trois premiers sont évidemment premiers. Pour $257$ , l’ouvrage remarque que $\sqrt{257}<17$ et qu’aucun des nombres premiers $2$ , $3$ , $5$ , $7$ , $11$ , $13$ ne le divise. Pour $65537$ , la même méthode demanderait de tester tous les nombres premiers jusqu’à $256$ ; la section 3 dispensera de presque tous.

Puis $F_{5}=2^{32}+1=4294967297$ . Le Tome 2 établit sa divisibilité par $641$ en deux divisions euclidiennes :

$\displaystyle 2^{16}=65536=641\times 102+154,\qquad 154^{2}=23716=641\times 36+640.$

Ainsi $2^{32}=\bigl(2^{16}\bigr)^{2}\equiv 154^{2}\equiv 640\equiv -1\pmod{641}$ , et $F_{5}\equiv 0\pmod{641}$ . Le quotient vaut $6700417$ , qui est premier.

Une autre vérification, qui ne figure pas dans l’ouvrage, se passe de toute division. Le nombre $641$ s’écrit de deux façons : $641=5\times 2^{7}+1$ et $641=5^{4}+2^{4}$ . Modulo $641$ , la première donne $5\times 2^{7}\equiv -1$ , donc $5^{4}\times 2^{28}\equiv(-1)^{4}=1$ ; la seconde donne $2^{4}\equiv -5^{4}$ . Il vient

$\displaystyle 2^{32}=2^{4}\times 2^{28}\equiv -5^{4}\times 2^{28}\equiv -1\pmod{641}.$

3. Pourquoi chercher du côté de 641

Ces calculs vérifient un diviseur ; ils ne disent pas comment le trouver. Le résultat qui suit ne figure pas dans le Tome 2. Il repose sur la notion d’ordre employée dans l’article du 19 octobre : si $q$ est un nombre premier impair, le plus petit entier $d\geq 1$ tel que $2^{d}\equiv 1\pmod q$ divise tout exposant $m$ vérifiant $2^{m}\equiv 1\pmod q$ , et en particulier $q-1$ , d’après le petit théorème de Fermat.

Proposition 2. Tout diviseur premier $q$ de $F_{n}$ vérifie $q\equiv 1\pmod{2^{n+1}}$ .

Démonstration. Le nombre $F_{n}$ est impair, donc $q$ aussi. De $2^{2^{n}}\equiv -1\pmod q$ , on tire en élevant au carré $2^{2^{n+1}}\equiv 1\pmod q$ . L’ordre $d$ de $2$ modulo $q$ divise donc $2^{n+1}$ : c’est une puissance $2^{j}$ avec $j\leq n+1$ . Si l’on avait $j\leq n$ , alors $2^{j}$ diviserait $2^{n}$ , et l’on aurait $2^{2^{n}}\equiv 1\pmod q$ ; avec $2^{2^{n}}\equiv -1$ , cela donnerait $q\mid 2$ , ce qui est exclu. Donc $d=2^{n+1}$ , et comme $d$ divise $q-1$ , la proposition est démontrée. $\quad\Box$

Pour $F_{5}$ , les diviseurs premiers sont donc congrus à $1$ modulo $64$ . Les nombres premiers de cette forme, rangés par ordre croissant, sont $193$ , $257$ , $449$ , $577$ , $641$ : le diviseur cherché est le cinquième candidat. On démontre même, pour $n\geq 2$ , que $q\equiv 1\pmod{2^{n+2}}$ , ce que nous admettons ici ; il ne reste alors que $257$ et $641$ à essayer. Le diviseur $641$ cesse d’être une trouvaille de hasard.

La même proposition règle le cas de $F_{4}=65537$ . Comme $256^{2}=65536$ , un diviseur premier inférieur à la racine carrée vaut au plus $256$ , et il est congru à $1$ modulo $32$ . Les seuls nombres premiers de cette forme sont $97$ et $193$ , et les divisions laissent les restes $62$ et $110$ . Deux divisions au lieu de cinquante-quatre : $65537$ est premier.

4. Deux nombres de Fermat sont premiers entre eux

Voici la propriété que Fermat n’avait pas remarquée, et qui est le cœur de l’exercice du Tome 2. L’ouvrage établit d’abord la relation $F_{n+1}=(F_{n}-1)^{2}+1$ , dont il tire par récurrence que l’écriture décimale de $F_{n}$ se termine par $7$ dès que $n\geq 2$ , puisque $(7-1)^{2}+1=37$ . Puis il pose $a=2^{2^{n}}$ , de sorte que $F_{n}=a+1$ , et, pour $k\geq 1$ ,

$\displaystyle F_{n+k}-2=2^{2^{n}\times 2^{k}}-1=a^{2^{k}}-1=\bigl(a^{2}\bigr)^{2^{k-1}}-1.$

Ce dernier nombre est divisible par $a^{2}-1=(a-1)(a+1)$ , donc par $F_{n}$ . Ainsi $F_{n}$ divise $F_{n+k}-2$ .

Théorème. Deux nombres de Fermat distincts sont premiers entre eux.

Démonstration. Soient $n<m$ et $\delta$ un diviseur positif commun à $F_{n}$ et $F_{m}$ . Comme $F_{n}$ divise $F_{m}-2$ , le nombre $\delta$ divise $F_{m}-2$ et $F_{m}$ , donc leur différence $2$ . Les nombres de Fermat étant impairs, $\delta=1$ . $\quad\Box$

Une forme plus parlante du même fait ne figure pas dans l’ouvrage. Pour tout $m\geq 1$ ,

$\displaystyle F_{0}\,F_{1}\cdots F_{m-1}=F_{m}-2.$

Pour $m=1$ , c’est $3=5-2$ . Et si l’égalité vaut au rang $m$ , alors $F_{m+1}-2=2^{2^{m+1}}-1=\bigl(2^{2^{m}}-1\bigr)\bigl(2^{2^{m}}+1\bigr)=(F_{m}-2)\,F_{m}=F_{0}\cdots F_{m-1}F_{m}$ . Ainsi $3\times 5\times 17\times 257=65535=F_{4}-2$ . Chaque nombre de Fermat dépasse de $2$ le produit de tous ceux qui le précèdent, exactement comme le nombre d’Euclide dépasse de $1$ le produit des premiers de sa liste.

5. Une troisième preuve de l’infinité des nombres premiers

La conséquence qui suit n’est pas tirée dans le Tome 2. Chaque $F_{n}$ est au moins égal à $3$ et possède donc un diviseur premier, que nous notons $q_{n}$ . Si l’on avait $q_{n}=q_{m}$ pour $n\neq m$ , ce nombre premier serait un diviseur commun à $F_{n}$ et $F_{m}$ , ce que le théorème interdit. Les nombres $q_{0}$ , $q_{1}$ , $q_{2}$ , … sont donc deux à deux distincts, et il y a une infinité de nombres premiers.

La démonstration ne demande à aucun $F_{n}$ d’être premier. Elle fonctionne avec $F_{5}=641\times 6700417$ comme avec $F_{4}$ : l’erreur de Fermat ne l’atteint pas. C’est en cela que ses nombres, mal compris, ont produit un théorème. L’argument figure dans une lettre de Christian Goldbach à Euler, écrite en 1730 ; la conjecture de Fermat n’était pas encore réfutée, elle le sera deux ans plus tard, et l’argument n’en souffre pas.

Elle donne en prime une majoration. Les nombres $q_{0}$ , …, $q_{n}$ sont $n+1$ nombres premiers distincts, tous inférieurs ou égaux à $F_{n}$ . Le $(n+1)$ -ième nombre premier vérifie donc $p_{n+1}\leq 2^{2^{n}}+1$ . La preuve d’Euclide, relue dans l’article du 9 octobre, donnait $p_{n+1}\leq 2^{2^{n}}$ : presque la même borne, obtenue par un autre chemin. La ressemblance n’est pas fortuite. Dans les deux cas, on fabrique un nombre qui ne partage aucun facteur premier avec ceux qui l’ont précédé : le reste $1$ y suffit chez Euclide, le reste $2$ et l’imparité y suffisent ici. Toute suite infinie d’entiers au moins égaux à $2$ et deux à deux premiers entre eux fournirait de même une preuve de l’infinité des nombres premiers.

6. Ce que l’on sait des nombres de Fermat

Presque rien, au-delà de $F_{4}$ . Aucun autre nombre de Fermat premier n’est connu. Tous ceux que l’on a pu examiner, de $F_{5}$ à $F_{32}$ , sont composés, et l’on ne sait pas s’il en existe un seul autre qui soit premier. La conjecture de Fermat a donc fini par s’inverser : on soupçonne aujourd’hui que $F_{0}$ à $F_{4}$ sont les seuls premiers, sans pouvoir le démontrer.

Ces cinq nombres ont trouvé un emploi là où on ne les attendait pas. En 1796, Gauss découvre que le polygone régulier à dix-sept côtés se construit à la règle et au compas ; il établit ensuite qu’il en va de même du polygone à $q$ côtés lorsque $q$ est un nombre de Fermat premier, et Pierre-Laurent Wantzel montre en 1837 que, pour $q$ premier, cette condition est aussi nécessaire. Le prochain article de la série, un exercice qui paraît le 25 octobre, quitte les formules et cherche des nombres premiers alignés en progression arithmétique.

Le calcul de $F_{0}$ à $F_{3}$ , la divisibilité de $F_{5}$ par $641$ , la relation $F_{n+1}=(F_{n}-1)^{2}+1$ , le dernier chiffre $7$ , la divisibilité de $F_{n+k}-2$ par $F_{n}$ et le théorème de la section 4 forment l’exercice Nombres de Fermat des exercices d’approfondissement, section Familles de nombres entiers, de Mathématiques en terminales scientifiques (Tome 2). La proposition 1, la seconde vérification par $641$ , la forme des diviseurs premiers, la formule du produit, la preuve de l’infinité des nombres premiers qui s’en déduit et l’histoire n’y figurent pas et sont ajoutées ici.

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Fermat s’est trompé, et son erreur a produit un théorème

1. Pourquoi une puissance de deux à l’exposant

2. Cinq nombres premiers, puis 641

3. Pourquoi chercher du côté de 641

4. Deux nombres de Fermat sont premiers entre eux

5. Une troisième preuve de l’infinité des nombres premiers

6. Ce que l’on sait des nombres de Fermat

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1. Pourquoi une puissance de deux à l’exposant

2. Cinq nombres premiers, puis 641

3. Pourquoi chercher du côté de 641

4. Deux nombres de Fermat sont premiers entre eux

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6. Ce que l’on sait des nombres de Fermat

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