Dérivable entraîne continue, et la réciproque est fausse

L’implication se démontre en trois lignes et tout le monde l’admet. C’est la réciproque qui réserve la surprise, et elle est bien pire que ne le laisse croire le contre-exemple habituel : il existe des fonctions continues en tout point et dérivables en aucun. La courbe se trace d’un trait sans jamais admettre de tangente, nulle part.

Cet article poursuit la série Tout tient à la limite. Il fait suite à l’article précédent, où le nombre dérivé a été défini comme une limite, et il emploie les trois définitions de la continuité établies plus tôt dans la série.

1. L’implication

Théorème. Si une fonction $f$ est dérivable en $a$ , alors elle est continue en $a$ .

Preuve. Pour tout réel $h$ non nul assez petit, on peut écrire

$\displaystyle f(a+h)-f(a)=h\times\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$

Le second facteur tend vers $f^{\prime}(a)$ par hypothèse, et le premier tend vers $0$ . Le produit tend donc vers $0\times f^{\prime}(a)=0$ , c’est-à-dire que $f(a+h)$ tend vers $f(a)$ . La fonction est continue en $a$ . $\quad\Box$

L’artifice consiste à multiplier et diviser par $h$ , ce qui n’est licite que parce que $h$ reste non nul. C’est le même point délicat que dans l’article précédent, et il vaut la peine d’être remarqué deux fois : toute la théorie de la dérivation repose sur des divisions par une quantité qui tend vers zéro sans jamais l’atteindre.

Notons la conséquence pratique, qui est la forme sous laquelle le théorème sert le plus souvent : une fonction discontinue en un point n’y est pas dérivable. C’est la contraposée, et elle dispense de tout calcul de taux d’accroissement sur les quatre fonctions de l’exercice du 14 septembre.

2. Le contre-exemple que tout le monde connaît

La fonction valeur absolue est continue en $0$ , et son taux d’accroissement y vaut

$\displaystyle \frac{|0+h|-|0|}{h}=\frac{|h|}{h}=\begin{cases}1 & \text{si } h>0, \\[3pt] -1 & \text{si } h<0.\end{cases}$

Les limites à droite et à gauche valent $1$ et $-1$ : le taux d’accroissement n’admet pas de limite, et la fonction n’est pas dérivable en $0$ . La courbe présente un point anguleux, et l’œil le voit.

On peut multiplier les points anguleux. La fonction $x\mapsto|\sin x|$ en possède une infinité, aux multiples entiers de $\pi$ , et reste dérivable partout ailleurs. On imagine alors qu’en accumulant les anguleux on obtiendrait une fonction dérivable nulle part, mais que la construction resterait artificielle et l’objet monstrueux. C’est ce que l’on a cru jusqu’en 1872.

3. La fonction de Weierstrass

En 1872, Karl Weierstrass présente à l’Académie de Berlin la fonction définie par

$\displaystyle W(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a^{n}\cos\left(b^{n}\pi x\right),$

où $a$ est un réel de $\,]0,1[\,$ et $b$ un entier impair, liés par la condition $ab>1+\dfrac{3\pi}{2}$ . Cette fonction est continue en tout point de $\mathbb{R}$ et dérivable en aucun.

Le mécanisme se comprend sans la démonstration complète, qui dépasse le programme. La continuité vient de ce que le facteur $a^{n}$ écrase les termes : la série converge uniformément, et une limite uniforme de fonctions continues est continue. La non-dérivabilité vient de ce que le facteur $b^{n}$ comprime les oscillations plus vite que $a^{n}$ ne les aplatit. À chaque échelle où l’on regarde, de nouvelles oscillations apparaissent, de pente toujours plus raide. Aucune droite ne peut approcher la courbe à mieux que l’ordre un.

La réception fut hostile. Hermite écrivait en 1893 se détourner « avec effroi et horreur de cette plaie lamentable des fonctions qui n’ont pas de dérivée ». Poincaré y voyait des monstres. L’objection n’était pas mathématique : elle portait sur l’idée qu’une fonction devait ressembler à quelque chose de dessinable.

4. Le monstre est la règle

Le renversement date de 1931, avec un résultat de Stefan Banach et Stefan Mazurkiewicz. Énoncé sans technique : dans l’ensemble de toutes les fonctions continues sur un segment, celles qui sont dérivables en au moins un point forment une partie négligeable. Autrement dit, une fonction continue prise au hasard n’est dérivable nulle part.

Les fonctions que l’on manipule au lycée — polynômes, exponentielle, sinus — sont donc des exceptions extraordinairement rares dans l’océan des fonctions continues. Ce sont elles, et non la fonction de Weierstrass, qui constituent la pathologie statistique. L’intuition avait pris pour la règle ce qui n’était qu’un échantillon soigneusement choisi.

Ces objets ont fini par servir, ce qui achève de désavouer le mot « monstre ». Les trajectoires du mouvement brownien sont continues et dérivables en aucun point, presque sûrement ; toute la physique statistique et la finance mathématique les emploient. La courbe qui effrayait Hermite décrit le déplacement d’un grain de pollen dans l’eau.

Il y a là une leçon qui vaut au-delà de l’analyse, et c’est la même que celle des deux cercles d’Euclide. Ce que la figure suggère n’est pas ce que la définition dit. Tant que l’on croit qu’une fonction continue « se trace », la fonction de Weierstrass est absurde ; dès que la continuité est définie par $\varepsilon$ et $\delta$ , elle est ordinaire.

Le prochain article de la série propose quatre fonctions continues et quatre manières distinctes d’échouer à être dérivables.

Le lien entre dérivabilité et continuité, ainsi que les points anguleux, relèvent des fonctions numériques d’une variable réelle, auxquelles sera consacré le Volume II du Discours formel sur les mathématiques pour le secondaire, en préparation.

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Dérivable entraîne continue, et la réciproque est fausse

1. L’implication

2. Le contre-exemple que tout le monde connaît

3. La fonction de Weierstrass

4. Le monstre est la règle

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1. L’implication

2. Le contre-exemple que tout le monde connaît

3. La fonction de Weierstrass

4. Le monstre est la règle

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