On enseigne que le nombre dérivé est la pente de la tangente, et l’on illustre par une sécante qui bascule jusqu’à se coucher sur la courbe. L’image est juste, et l’ordre est inversé. Personne n’a défini la tangente avant ce dessin ; c’est la dérivée qui la définit, et non l’inverse. Ce renversement n’est pas une préciosité : sans lui, la notion de tangente reste circulaire.

Cet article poursuit la série Tout tient à la limite et la fait passer de la continuité à la dérivation. Il s’appuie sur la définition de la limite établie en début de série, et il complète un article ancien qui employait la dérivée sans l’interroger, Transformation optimale d’un essai.

1. Le cercle vicieux de la tangente

Demandons à un élève ce qu’est une tangente. Il répondra qu’elle touche la courbe en un point sans la traverser. La définition vient du cercle, où elle fonctionne, et elle échoue partout ailleurs.

Elle échoue par excès : la droite d’équation touche la courbe du cosinus en une infinité de points sans en être la tangente en tous. Elle échoue par défaut : la tangente à la courbe de en est l’axe des abscisses, et elle traverse la courbe. Aucun des deux critères — toucher en un seul point, ne pas traverser — ne résiste.

Il faut donc renoncer à définir la tangente géométriquement et la construire autrement. C’est le rôle du nombre dérivé.

2. La définition

Définition. Soit une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant . On dit que est dérivable en lorsque le taux d’accroissement

admet une limite finie lorsque tend vers . Cette limite est notée et appelée nombre dérivé de en .

Trois remarques, dont deux sont rarement faites.

La fonction n’est pas définie en , et ne peut pas l’être : le quotient y serait . C’est le premier exemple, dans la scolarité, où la limite en un point porte sur une fonction qui n’y est pas définie. La définition de la limite l’autorise, puisqu’elle ne regarde jamais la valeur au point — on l’a vérifié sur la discontinuité apparente de l’exercice précédent.

La limite est exigée finie. Sans cette clause, la fonction racine carrée serait dérivable en , avec un taux d’accroissement qui tend vers . On dit alors que la courbe admet une tangente verticale, ce qui est une propriété géométrique réelle, mais la fonction n’est pas dérivable.

Enfin, aucune tangente n’apparaît dans cet énoncé. On la définit ensuite : la tangente à la courbe au point d’abscisse est la droite d’équation . Elle n’existe que si la fonction est dérivable, et sa pente est le nombre dérivé par construction. Le cercle est rompu.

3. Ce que la tangente approche vraiment

La définition admet une reformulation qui dit mieux ce qui se passe. Poser , où tend vers , revient à écrire

L’égalité est exacte, et elle se lit ainsi : au voisinage de , la fonction coïncide avec une fonction affine, à une erreur près qui est négligeable devant . Ce dernier point est le contenu réel de la dérivabilité. L’erreur ne tend pas seulement vers zéro : elle tend vers zéro plus vite que .

La distinction se voit sur un exemple. La fonction valeur absolue vérifie , et l’erreur tend bien vers zéro — mais pas plus vite que , puisque le quotient ne tend vers rien. L’approximation affine échoue donc en : aucune droite n’y approche la courbe mieux qu’à l’ordre un près, et c’est exactement ce que signifie l’absence de nombre dérivé.

C’est cette formulation qui se généralise. En dimension supérieure, la dérivée cesse d’être un nombre et devient une application linéaire ; le taux d’accroissement n’a plus de sens, faute de division, tandis que l’approximation affine en garde un. Les manuels définissent la dérivée par le quotient parce que c’est calculable ; les mathématiques la définissent par l’approximation parce que c’est ce qui survit.

4. Deux calculs, pour fixer

Prenons et quelconque. Le taux d’accroissement vaut

expression définie pour et dont la limite en vaut . La simplification par est licite précisément parce que n’est jamais nul dans le calcul de la limite.

Ce détail mérite qu’on s’y arrête, car il a occupé les mathématiciens pendant un siècle et demi. Newton et Leibniz calculaient avec des quantités tantôt non nulles — pour diviser — tantôt nulles — pour conclure. Berkeley moquait en 1734 ces « fantômes de quantités défuntes », et l’objection était juste : le raisonnement employait une quantité des deux façons à la fois. La définition par la limite élimine la difficulté sans compromis. Le nombre n’est jamais nul ; c’est la limite qui l’est.

Second calcul, moins habituel. Soit définie par pour et . Le taux d’accroissement en vaut , quantité majorée en valeur absolue par , donc de limite nulle. La fonction est dérivable en , avec , alors même que sa courbe oscille infiniment près de l’origine. Un dessin ne permettrait ni de le voir ni de le nier.

Le prochain article de la série établit que la dérivabilité entraîne la continuité, et montre que la réciproque est fausse — spectaculairement fausse.

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Le nombre dérivé, la tangente et l’approximation affine relèvent des fonctions numériques d’une variable réelle, auxquelles sera consacré le Volume II du Discours formel sur les mathématiques pour le secondaire, en préparation.