« Tend vers » : ce que disent ε et N

/ Christian Nguembou Tagne

« La suite se rapproche de plus en plus de sa limite. » La phrase est dans tous les manuels, elle paraît inoffensive, et elle est fausse dans les deux sens : une suite peut se rapprocher indéfiniment d’un nombre sans converger vers lui, et converger vers un nombre sans jamais s’en rapprocher régulièrement. Ce que « tend vers » signifie exactement demande deux lettres, ε et N, et un ordre entre elles qu’il ne faut pas intervertir.

Cet article poursuit la série Tout tient à la limite, ouverte par Une suite est une application, et cela change tout. L’ordre des quantificateurs y joue le rôle que l’on a vu à l’œuvre dans Exercice : cinq raisonnements, une seule démonstration correcte.

1. Ce que « se rapprocher » ne dit pas

Considérons la suite définie par u_{n}=1-\dfrac{1}{n} pour n\geq 1. Sa distance à 2 vaut

\displaystyle |u_{n}-2|=1+\frac{1}{n},

quantité qui décroît strictement. La suite se rapproche donc de 2 à chaque étape, indéfiniment, et pourtant elle ne converge pas vers 2 : elle converge vers 1. « Se rapprocher de plus en plus » ne suffit pas, parce que cette formule ne dit rien de la distance atteinte ; elle ne parle que de la distance diminuée.

L’autre versant est tout aussi instructif. La suite définie par v_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{n} converge vers 0, mais elle ne s’en rapproche pas de manière régulière : elle saute d’un côté à l’autre, et rien dans son allure n’évoque une approche paisible. La convergence ne dit rien du chemin ; elle ne parle que de ce qui finit par arriver.

Il faut donc une définition qui énonce, non pas que la distance diminue, mais qu’elle finit par passer sous n’importe quel seuil fixé à l’avance, et qu’elle y reste.

2. La définition

Définition. Une suite réelle (u_{n}) converge vers le réel \ell lorsque, pour tout réel \varepsilon>0, il existe un entier N tel que l’on ait |u_{n}-\ell|<\varepsilon pour tout entier n\geq N.

En symboles, et c’est cette ligne qu’il faut savoir lire :

\displaystyle \forall\varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb{N},\ \forall n\geq N,\quad |u_{n}-\ell|<\varepsilon.

Trois quantificateurs, dans cet ordre, et chacun répond à une objection. Le premier, \forall\varepsilon>0, interdit de choisir un seuil complaisant : la propriété doit tenir pour tous, y compris les plus petits. Le deuxième, \exists N, dit qu’il suffit d’attendre : ce qui se passe avant le rang N n’a aucune importance. Le troisième, \forall n\geq N, exige que la suite reste sous le seuil ; il ne suffit pas d’y passer une fois.

Une image plus juste que celle du rapprochement : quel que soit le tube que l’on trace autour de \ell, si mince soit-il, la suite finit par y entrer et n’en ressort plus.

3. Pourquoi N dépend de ε, et jamais l’inverse

Dans la formule, N apparaît après \varepsilon. Ce n’est pas une commodité de notation : cela signifie que le rang à partir duquel la suite est proche dépend du seuil exigé. Plus on demande de précision, plus il faut attendre.

Prenons u_{n}=\dfrac{1}{n}, dont on veut établir la convergence vers 0. Soit \varepsilon>0. On cherche N tel que \dfrac{1}{n}<\varepsilon dès que n\geq N, c’est-à-dire n>\dfrac{1}{\varepsilon}. Il suffit de prendre pour N un entier strictement supérieur à \dfrac{1}{\varepsilon}, ce qui est possible — et c’est exactement la propriété d’Archimède, rarement nommée à cet endroit.

Le rang obtenu vaut 11 pour \varepsilon=0{,}1, mais 1\,001 pour \varepsilon=0{,}001. Aucun rang unique ne convient pour tous les seuils à la fois, et c’est bien pourquoi l’énoncé place \exists N après \forall\varepsilon. Intervertir les deux produirait une propriété beaucoup plus forte, et fausse pour presque toutes les suites convergentes : elle affirmerait qu’un seul rang suffit à rendre la suite plus proche de \ell que n’importe quelle précision, donc égale à \ell à partir de ce rang.

C’est la même faute que celle du deuxième raisonnement de l’exercice du 20 août 2026, où la continuité devenait uniforme par simple échange de deux quantificateurs. La logique ne connaît aucune règle qui autorise ce passage.

4. Nier la convergence

Une définition n’est vraiment comprise que lorsqu’on sait la nier. La négation s’obtient mécaniquement, en échangeant chaque quantificateur et en niant la conclusion :

\displaystyle \exists\varepsilon>0,\ \forall N\in\mathbb{N},\ \exists n\geq N,\quad |u_{n}-\ell|\geq\varepsilon.

En français : il existe un seuil que la suite dépasse encore, aussi loin qu’on aille. Pour montrer qu’une suite ne converge pas vers \ell, il suffit donc d’exhiber un seul \varepsilon et, pour chaque rang, un terme au-delà qui viole l’inégalité.

Appliquons-le à w_{n}=(-1)^{n}, dont on veut établir qu’elle ne converge vers aucun réel \ell. Prenons \varepsilon=1. Si l’on avait |w_{n}-\ell|<1 à partir d’un certain rang, alors, pour un indice pair m supérieur à ce rang, nous aurions

\displaystyle |1-(-1)|=|w_{m}-\ell+\ell-w_{m+1}|\leq |w_{m}-\ell|+|w_{m+1}-\ell|< 1 +1,

c’est-à-dire 2<2 : une contradiction. La suite ne converge donc vers aucune limite.

Notons le procédé, car il resservira : on n’a pas eu besoin de connaître \ell pour le réfuter. L’inégalité triangulaire a suffi à éliminer tous les candidats d’un coup.

5. Deux mots que la définition ne contient pas

« Sans jamais l’atteindre. » Rien dans la définition n’interdit à la suite de valoir \ell. Une suite constante converge, et la suite qui vaut 0 pour n pair et \dfrac{1}{n} pour n impair converge vers 0 en l’atteignant une fois sur deux. L’idée que la limite serait un but inaccessible vient de la physique, non des mathématiques.

« À l’infini. » Aucun infini n’apparaît dans l’énoncé. Il n’y est question que d’entiers N et de réels \varepsilon, tous parfaitement finis. C’est là le tour de force de Cauchy et de Weierstrass au XIXe siècle : définir un comportement « à l’infini » sans jamais nommer l’infini. Les « quantités infiniment petites » des siècles précédents, dont Berkeley moquait le statut incertain, disparaissent au profit de deux quantificateurs.

Le prochain article de la série propose cinq suites, dont une seule converge, et invite à nommer pour chacune des autres l’obstacle exact.

La définition de la limite d’une suite, sa négation et ses premières conséquences feront l’objet du Volume II du Discours formel sur les mathématiques pour le secondaire, en préparation. L’ordre des quantificateurs et le maniement de la négation sont traités au chapitre 2 du Volume I.