Une notation, un objet — et tq, ssi, ℕ

/ Christian Nguembou Tagne

Une copie démontre que la somme de deux suites convergentes converge. Elle écrit d’abord « il existe N tq pour tout n ≥ N, |uₙ − ℓ| < ε/2 », puis, deux lignes plus bas, « il existe N tq pour tout n ≥ N, |vₙ − ℓ′| < ε/2 », et conclut sans peine pour tout n ≥ N. Les deux entiers n’ont aucune raison d’être égaux. Ils portent pourtant le même nom, et la démonstration profite de la coïncidence sans le dire. L’abréviation « tq », elle, ne trompe personne ; elle demande seulement au lecteur un effort qu’on aurait pu lui épargner. Les deux fautes n’ont pas la même gravité, mais elles relèvent d’un même principe : une notation engage celui qui l’écrit.

Cet article est le cinquième de la série Écrire les mathématiques, qui suit la section Rédaction des textes mathématiques : langage formel versus langage courant du chapitre Logique mathématique de Discours formel sur les mathématiques pour le secondaire, Volume I. L’article du 11 novembre, « La flèche ⇒ n’est pas une abréviation de « donc » », traitait des symboles logiques ; celui-ci passe aux lettres et aux abréviations, auxquelles la section consacre cinq conseils de suite. La définition de la limite qu’emploie la copie de l’accroche a été détaillée dans « « Tend vers » : ce que disent ε et N », et le critère de Cauchy, que cite un exemple du livre, dans « Suites de Cauchy : la complétude de ℝ, autrement ». Le prochain article de la série, « Deux ou 2 ? Quand le nombre compte, et quand il est l’objet », paraît le 15 novembre.

1. Ce que coûte une abréviation

Le premier des cinq conseils porte sur les abréviations.

Éviter d’utiliser des abréviations non standard. Ne pas écrire « Soit x tq x>1. » mais plutôt « Soit x tel que x>1. » Dans le même esprit, au lieu de « Une suite réelle est convergente ssi elle est de Cauchy. » écrire « Une suite réelle est convergente si et seulement si elle est de Cauchy. »

L’abréviation fait gagner quatre lettres à celui qui écrit « tq », douze à celui qui écrit « ssi ». La dépense retombe sur le lecteur. S’il ne connaît pas l’abréviation, il doit la deviner ; s’il la connaît, il la déplie en lisant, ce qui reste une opération de plus. L’économie est faite par celui qui n’en avait pas besoin, aux dépens de celui qui doit comprendre.

Le conseil ne vise que les abréviations « non standard ». Il n’interdit pas « PGCD », que tout lecteur d’un texte d’arithmétique connaît et que personne ne voudrait voir remplacé à chaque ligne par « le plus grand commun diviseur ». La frontière passe entre ce que le lecteur connaît d’avance et ce que l’auteur s’est fabriqué. « tq » et « ssi » se lisent sans peine pour qui en a pris l’habitude. Ils restent opaques pour les autres, et un texte ne choisit pas ses lecteurs.

La seconde réécriture du livre mérite un regard de plus. Dans « convergente si et seulement si elle est de Cauchy », l’équivalence est dite en toutes lettres, au même titre que la flèche de l’implication l’était dans l’article du 11 novembre. Une phrase ordinaire n’abrège pas plus ses connecteurs qu’elle ne les remplace par des symboles.

2. Combien d’objets s’appellent N ?

Les deux conseils suivants vont ensemble.

Ne pas utiliser la même notation pour désigner des choses différentes.

Utiliser des notations semblables pour désigner des objets semblables.

Les exemples qui suivent sont un ajout de cet article. Le premier se rencontre dans bien des copies, sous cette forme.

\displaystyle \sum_{n=1}^{n}n=\frac{n(n+1)}{2}

La lettre n y désigne deux choses. Sous le signe somme, elle est l’indice, qui prend successivement les valeurs 1, 2, et ainsi de suite. En haut du signe somme et dans le membre de droite, elle est la borne, un entier fixé. Lue à voix haute, la formule donne « la somme, pour n allant de un à n, de n », et l’on ne sait plus quel n s’arrête à quel n. Le chapitre Logique mathématique appelle liée la variable sur laquelle porte un quantificateur, et libre toute autre variable. L’indice d’une somme se comporte comme une variable liée, la borne comme une variable libre ; le rapprochement est un ajout de cet article, et il dit pourquoi une même lettre ne peut tenir les deux rôles. Il suffit de renommer l’indice.

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}

Le second exemple est celui de l’accroche, et il est plus grave, parce que la faute de notation y cache une étape manquante. Voici la démonstration correcte. Soient (u_{n}) et (v_{n}) deux suites réelles, qui convergent vers les réels \ell et \ell' respectivement, et soit \varepsilon>0. Il existe un entier N_{1} tel que, pour tout entier n\geq N_{1}, on ait |u_{n}-\ell|<\varepsilon/2. De même, il existe un entier N_{2} tel que, pour tout entier n\geq N_{2}, on ait |v_{n}-\ell'|<\varepsilon/2. Posons N=\max(N_{1},N_{2}). Pour tout entier n\geq N, les deux inégalités ont lieu à la fois, et l’inégalité triangulaire donne

\displaystyle |(u_{n}+v_{n})-(\ell+\ell')|\leq|u_{n}-\ell|+|v_{n}-\ell'|<\varepsilon.

La ligne qui pose N=\max(N_{1},N_{2}) est l’endroit où la démonstration commence à faire plus que recopier les hypothèses. La copie de l’accroche l’avait supprimée, et elle n’avait pas eu à le remarquer : en appelant N les deux entiers, elle les avait rendus égaux par décret. Quand deux objets différents portent le même nom, c’est souvent qu’on a omis d’écrire ce qui les relie.

3. Des noms de la même famille

Les indices de N_{1} et de N_{2} appliquent déjà le dixième conseil. La lettre commune dit qu’il s’agit du même genre d’objet, un rang à partir duquel une inégalité a lieu ; l’indice dit lequel. Les deux conseils se complètent : des objets différents reçoivent des noms différents, des objets semblables des noms semblables.

Le triangle en donne l’exemple le plus familier. On nomme A, B et C ses sommets, et a, b et c les longueurs des côtés opposés, de sorte que a=BC, b=CA et c=AB. La notation porte une information : la minuscule désigne la longueur du côté qui fait face au sommet de même lettre. Dans un triangle rectangle en A, le théorème de Pythagore s’écrit alors a^{2}=b^{2}+c^{2}, et la correspondance entre les lettres suffit à dire que a est la longueur de l’hypoténuse. Qu’on nomme les mêmes longueurs x, BC et \ell, et chaque formule obligera à revenir à la figure.

4. Quand une lettre ne sert à rien

Le onzième conseil demande d’éviter les notations inutiles, et précise le critère : n’introduire une notation que si elle sera utilisée plus tard. La section l’illustre par une phrase du type « Chaque fonction dérivable f est continue », où la lettre f ne resservira pas, et qui gagne à s’écrire « Chaque fonction dérivable est continue ».

Une lettre inutile n’est pas neutre. Elle laisse croire au lecteur qu’il devra s’en souvenir. Elle occupe aussi un nom : si une fonction f apparaît trois lignes plus loin, est-ce la même ? Supprimée, elle rend la phrase plus juste, parce que « Chaque fonction dérivable est continue » énonce une loi générale sans fixer d’objet.

À l’inverse, une notation est utile dès qu’elle sert deux fois. Dans « Soit f une fonction dérivable en un réel a. Alors la fonction f est continue en a. », chacune des deux lettres est reprise dans la phrase suivante, et ne pas les nommer obligerait à de longues périphrases. Le critère n’est pas le nombre de symboles. C’est le service qu’ils rendent.

5. Ne pas nager à contre-courant

Le dernier des cinq conseils recommande d’employer les notations que tout le monde emploie. Presque tous les auteurs, rappelle la section, désignent par \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R} et \mathbb{C} les ensembles des entiers naturels, des entiers relatifs, des nombres rationnels, réels et complexes. Elle conclut : « Il est recommandé de ne pas nager à contre-courant. »

Une notation standard a un avantage que n’ont pas les autres : elle se lit sans légende. Le lecteur qui rencontre \mathbb{Q} n’a pas à chercher plus haut ce que la lettre désigne. Une notation inventée, même correctement définie, l’oblige à retenir une convention de plus, et elle le trahit le jour où il ouvre le texte au milieu.

Une précision s’impose, qui est un ajout de cet article : standard ne veut pas dire universel. En France, l’ensemble \mathbb{N} contient 0, alors que bien des ouvrages de langue anglaise le font commencer à 1. L’intervalle ouvert qui s’écrit ]a,b[ dans un manuel français s’écrit (a,b) dans un manuel anglophone, où la même écriture désigne aussi un couple. Une notation n’est standard que dans une communauté de lecteurs. Un texte qui peut en sortir, et c’est le cas de tout texte publié en ligne, gagne à préciser en une phrase les conventions dont le sens varie.

Les nombres eux-mêmes posent une question voisine. Le chiffre 2 est une notation, qui désigne un objet précis ; le mot « deux » en est une autre. On ne les emploie pas indifféremment, et c’est l’objet de l’article du 15 novembre.

Cet article suit la section Rédaction des textes mathématiques : langage formel versus langage courant, au chapitre Logique mathématique de Discours formel sur les mathématiques pour le secondaire, Volume I. L’ouvrage reparaîtra en décembre 2026 sous le titre Discours formel sur les mathématiques : une passerelle entre le secondaire et le supérieur, avec son Volume II, chacun accompagné d’un fascicule de corrigés des exercices.

Votre commentaire

Ce site utilise Akismet pour réduire les indésirables. En savoir plus sur la façon dont les données de vos commentaires sont traitées.