Translations et homothéties : le facteur |k| se démontre

Dans bien des cours, la démonstration tient en une ligne. L’homothétie de centre A et de rapport k envoie M sur M′ et N sur N′ ; le vecteur qui va de M′ à N′ vaut k fois celui qui va de M à N ; « donc » la distance M′N′ vaut |k| fois la distance MN. Ce « donc » enjambe un fossé. Il fait passer d’une égalité entre vecteurs à une égalité entre distances, comme si la longueur d’un vecteur se lisait sur ses coordonnées. Dans un repère à axes perpendiculaires où l’unité des abscisses mesure un centimètre et celle des ordonnées deux, le vecteur de coordonnées (3, 4) ne mesure pas 5 centimètres, mais √73, soit environ 8,5. Le facteur |k|, lui, est vrai dans tous les repères. Il faut donc le démontrer sans les coordonnées, et c’est le théorème de Thalès qui s’en charge.

Cet article est le quatrième de la série Transformer le plan, tirée du chapitre Applications affines du plan euclidien de Discours formel sur les mathématiques pour le secondaire, Volume I. Il s’appuie sur l’article du 4 novembre, « Une transformation n’est pas un geste : ce qu’est une application affine », pour la définition d’une application affine, et sur celui du 8 novembre, « D’où viennent x′ = ax + cy + s, et pourquoi ad – bc ne doit pas être nul », pour la partie linéaire. La question de ce que conserve une transformation a déjà été posée pour l’espace, dans Isométries de l’espace : ce que « superposable » veut dire. L’article du 12 novembre, « La réflexion définie par la médiatrice, et prouvée affine par la projection », passera aux symétries, et celui du 14 novembre proposera un exercice qui se sert de tout ce qui suit.

1. Deux applications définies par un vecteur

Le plan est rapporté à un repère cartésien $(O,I,J)$ , sans angle droit ni unité commune exigés. Pour un point $M(x,y)$ et un vecteur $\overrightarrow{u}=(a,b)$ , le point $M^{\prime}(x+a,\,y+b)$ est l’unique point tel que $\overrightarrow{MM^{\prime}}=\overrightarrow{u}$ . L’ouvrage en tire la première définition.

Définition. La translation de vecteur $\overrightarrow{u}$ , notée $\mathcal{T}_{\overrightarrow{u}}$ , est l’application du plan vers lui-même qui à tout point $M$ associe le point $M^{\prime}$ tel que $\overrightarrow{MM^{\prime}}=\overrightarrow{u}$ . Soient $A$ un point et $k$ un réel. L’homothétie de centre $A$ et de rapport $k$ , notée $\mathcal{H}_{A,k}$ , est l’application qui à tout point $M$ associe le point $M^{\prime}$ tel que $\overrightarrow{AM^{\prime}}=k\cdot\overrightarrow{AM}$ .

En coordonnées, si $\overrightarrow{u}=(a,b)$ , la translation s’écrit $x^{\prime}=x+a$ , $y^{\prime}=y+b$ , et l’homothétie

$\displaystyle x^{\prime}=k(x-x_{A})+x_{A},\qquad y^{\prime}=k(y-y_{A})+y_{A}.$

Trois rapports méritent qu’on s’y arrête. Le rapport $1$ donne l’identité. Le rapport $0$ envoie tout le plan sur le centre : c’est l’application constante de l’article du 4 novembre, affine et non bijective. Le rapport $-1$ donne la symétrie de centre $A$ , puisque $\overrightarrow{AM^{\prime}}=-\overrightarrow{AM}$ dit exactement que $A$ est le milieu de $[MM^{\prime}]$ . Les points fixes, enfin, se lisent sur les définitions. Une translation de vecteur non nul n’en a aucun. Une homothétie de rapport $k\neq 1$ n’a que son centre, car $\overrightarrow{AM}=k\cdot\overrightarrow{AM}$ équivaut à $(1-k)\cdot\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{0}$ . Ce sont deux des quatre cas que l’article du 6 novembre, « Barycentres : trois points suffisent », avait dénombrés : l’ensemble vide et le point.

2. Ce que disent les vecteurs

Soient $M$ et $N$ deux points, et $M^{\prime}$ , $N^{\prime}$ leurs images. Pour la translation, $\overrightarrow{M^{\prime}N^{\prime}}=\overrightarrow{M^{\prime}M}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NN^{\prime}}=-\overrightarrow{u}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{u}=\overrightarrow{MN}$ . Pour l’homothétie,

$\displaystyle \overrightarrow{M^{\prime}N^{\prime}}=\overrightarrow{M^{\prime}A}+\overrightarrow{AN^{\prime}}=-k\cdot\overrightarrow{AM}+k\cdot\overrightarrow{AN}=k\cdot\overrightarrow{MN}.$

Ces deux égalités disent beaucoup. La partie linéaire, au sens de l’article du 8 novembre, est l’identité pour la translation et la multiplication par $k$ pour l’homothétie : les deux applications sont affines, et ce sont des transformations dès que $k\neq 0$ . Elles envoient chaque droite sur une droite parallèle, puisque $\overrightarrow{M^{\prime}N^{\prime}}$ est colinéaire à $\overrightarrow{MN}$ . Elles se composent sans surprise : $\mathcal{T}_{\overrightarrow{u}}\circ\mathcal{T}_{\overrightarrow{v}}=\mathcal{T}_{\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}}$ et $\mathcal{H}_{A,k}\circ\mathcal{H}_{A,\ell}=\mathcal{H}_{A,k\ell}$ , d’où l’on tire que $\mathcal{H}_{A,k}$ a pour réciproque $\mathcal{H}_{A,1/k}$ quand $k$ n’est pas nul.

Elles ne disent rien des distances. Dans l’ouvrage, la distance de deux points est une notion première, réglée par les axiomes de la géométrie du plan ; les vecteurs sont des couples de nombres, calculés dans un repère qui n’a aucune raison d’être orthonormé. La quantité $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ ne mesure la longueur du vecteur $(a,b)$ que dans un repère orthonormé, et le repère de l’accroche le montre : $\sqrt{3^{2}+(2\times 4)^{2}}=\sqrt{73}$ , et non $5$ . Pour passer des vecteurs aux distances, il faut un pont, et l’ouvrage en emploie deux.

3. Le premier pont : une seule droite

Lemme. Soient $A$ , $B$ , $C$ , $D$ quatre points d’une même droite et $k$ un réel. Si $\overrightarrow{AB}=k\cdot\overrightarrow{CD}$ , alors $AB=|k|\cdot CD$ .

L’ouvrage en fait un exercice, avec pour indication de discuter la position des points les uns par rapport aux autres ; nous l’admettons. Il ne contredit pas l’accroche : sur une droite, aucune comparaison entre deux unités différentes n’intervient, et un rapport de vecteurs colinéaires y est un rapport de longueurs, au signe près. Hors d’une droite, ce lemme ne sert plus à rien, et il faut le second pont.

4. Pourquoi une translation conserve-t-elle les distances ?

Soient $A$ et $B$ deux points, et $A^{\prime}$ , $B^{\prime}$ leurs images par $\mathcal{T}_{\overrightarrow{u}}$ . On sait que $\overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}=\overrightarrow{AB}$ . L’ouvrage distingue trois cas. Si $A=B$ , alors $A^{\prime}=B^{\prime}$ et les deux distances sont nulles. Si $A\neq B$ et si $\overrightarrow{AB}$ est colinéaire à $\overrightarrow{u}$ , les quatre points sont sur la droite $(AB)$ , et le lemme donne $A^{\prime}B^{\prime}=1\cdot AB$ . Dans le dernier cas, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{u}$ ne sont pas colinéaires ; les quatre points ne sont pas alignés, et l’égalité $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}$ fait de $AA^{\prime}B^{\prime}B$ un parallélogramme, dont les côtés opposés $[AB]$ et $[A^{\prime}B^{\prime}]$ ont la même longueur. Ce dernier fait est un théorème de géométrie, démontré par l’ouvrage bien avant les vecteurs, à partir des axiomes.

Une translation est donc une isométrie, et l’ouvrage précise : quel que soit le repère choisi. Le parallélogramme a servi de pont, et c’est lui qui porte l’information métrique.

5. L’homothétie multiplie les distances par |k|

Proposition. Soient $A$ un point, $k$ un réel, $M$ et $N$ deux points, et $M^{\prime}$ , $N^{\prime}$ leurs images par $\mathcal{H}_{A,k}$ . Alors $M^{\prime}N^{\prime}=|k|\cdot MN$ .

Démonstration. On a $\overrightarrow{M^{\prime}N^{\prime}}=k\cdot\overrightarrow{MN}$ , et l’on distingue quatre cas, comme l’ouvrage.

Premier cas : $k=0$ . Les deux images sont le centre $A$ , et $M^{\prime}N^{\prime}=0=0\cdot MN$ .

Deuxième cas : $k\neq 0$ et $M=N$ . Alors $M^{\prime}=N^{\prime}$ , et les deux membres sont nuls.

Troisième cas : $k\neq 0$ , $M\neq N$ , et $A$ , $M$ , $N$ alignés. Les égalités $\overrightarrow{AM^{\prime}}=k\cdot\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AN^{\prime}}=k\cdot\overrightarrow{AN}$ placent $M^{\prime}$ et $N^{\prime}$ sur la même droite que $A$ , $M$ et $N$ . Le lemme, appliqué à $\overrightarrow{M^{\prime}N^{\prime}}=k\cdot\overrightarrow{MN}$ , donne $M^{\prime}N^{\prime}=|k|\cdot MN$ .

Quatrième cas : $k\neq 0$ , et $A$ , $M$ , $N$ non alignés. Si $k=1$ , l’homothétie est l’identité et il n’y a rien à démontrer. Supposons $k\neq 1$ . Le point $M^{\prime}$ est sur la droite $(AM)$ et le point $N^{\prime}$ sur la droite $(AN)$ ; ils sont distincts, et la droite $(M^{\prime}N^{\prime})$ est parallèle à $(MN)$ d’après la section 2. Elle en est même distincte : si elle était égale à $(MN)$ , le point $M^{\prime}$ serait commun aux droites $(MN)$ et $(AM)$ , qui ne se coupent qu’en $M$ ; on aurait $M^{\prime}=M$ , donc $(k-1)\cdot\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{0}$ , ce qui est exclu. Le triangle $AMN$ et les points $M^{\prime}$ , $N^{\prime}$ forment alors la configuration du théorème de Thalès, qui donne

$\displaystyle \frac{AM^{\prime}}{AM}=\frac{M^{\prime}N^{\prime}}{MN}.$

Or $A$ , $M$ et $M^{\prime}$ sont alignés et $\overrightarrow{AM^{\prime}}=k\cdot\overrightarrow{AM}$ : le lemme donne $AM^{\prime}=|k|\cdot AM$ . Il vient $M^{\prime}N^{\prime}=|k|\cdot MN$ . $\quad\Box$

Deux panneaux. À gauche, un centre A, deux points M et N et leurs images M′ et N′ par l'homothétie de rapport 2, sur deux droites issues de A ; les segments [MN] et [M′N′] sont parallèles. À droite, la même construction pour le rapport −3/2 : M′ et N′ sont de l'autre côté de A, et la figure prend la forme d'un papillon. — Le quatrième cas de la démonstration. À gauche, k = 2 : le point M est entre A et M′. À droite, k = −3/2 : le centre A est entre M et M′. Dans les deux cas, (MN) ∥ (M′N′) et M′N′ = |k| · MN.

La figure montre les deux visages du quatrième cas. Pour $k=2$ , le point $M$ est entre $A$ et $M^{\prime}$ . Pour $k=-\frac{3}{2}$ , c’est le centre $A$ qui est entre $M$ et $M^{\prime}$ , et la figure prend la forme d’un papillon. Le théorème de Thalès tel que l’ouvrage le démontre couvre les deux positions, et c’est pourquoi la valeur absolue apparaît sans qu’on ait à séparer les rapports positifs des négatifs.

Les quatre cas ne sont pas une coquetterie. Le théorème de Thalès exige un triangle, donc $A$ , $M$ , $N$ non alignés ; le lemme exige une droite, donc les points alignés ; et les cas où une image dégénère en un seul point n’entrent ni dans l’un ni dans l’autre. La ligne du début, qui passait du vecteur à la longueur sans s’arrêter, contenait en réalité ces quatre cas et deux théorèmes.

6. Deux homothéties de centres différents

L’ouvrage pose la question de cette section en exercice ; la démonstration qui suit est donc ajoutée ici. Composer deux homothéties de même centre ne donne rien de neuf. Avec des centres $A$ et $B$ distincts, prenons $M^{\prime}=\mathcal{H}_{A,k}(M)$ puis $M^{\prime\prime}=\mathcal{H}_{B,\ell}(M^{\prime})$ . Par la relation de Chasles,

$\displaystyle \overrightarrow{AM^{\prime\prime}}=\overrightarrow{AB}+\ell\cdot\left(\overrightarrow{BA}+k\cdot\overrightarrow{AM}\right)=(1-\ell)\cdot\overrightarrow{AB}+k\ell\cdot\overrightarrow{AM}.$

Si $k\ell=1$ , cette égalité s’écrit $\overrightarrow{MM^{\prime\prime}}=(1-\ell)\cdot\overrightarrow{AB}$ : le vecteur qui mène de $M$ à son image ne dépend pas de $M$ , et la composée est la translation de vecteur $(1-\ell)\cdot\overrightarrow{AB}$ . Si $k\ell\neq 1$ , soit $G$ le point tel que $(1-k\ell)\cdot\overrightarrow{AG}=(1-\ell)\cdot\overrightarrow{AB}$ . En remplaçant, $\overrightarrow{GM^{\prime\prime}}=\overrightarrow{AM^{\prime\prime}}-\overrightarrow{AG}=(1-k\ell)\cdot\overrightarrow{AG}+k\ell\cdot\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AG}=k\ell\cdot\overrightarrow{GM}$ : la composée est l’homothétie de centre $G$ et de rapport $k\ell$ . C’est le point que l’ouvrage décrit comme le barycentre de $(A,k\ell-\ell)$ et $(B,\ell-1)$ .

Deux exemples, avec $A(0,0)$ et $B(4,0)$ . Pour $k=2$ et $\ell=\frac{1}{2}$ , la composée envoie $(1,1)$ sur $(3,1)$ et $(3,-2)$ sur $(5,-2)$ : c’est la translation de vecteur $(2,0)$ , qui vaut bien $\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{AB}$ . Pour $k=2$ et $\ell=3$ , le centre est $G(\frac{8}{5},0)$ et le rapport $6$ . Avec $k=\ell=-1$ , on obtient un résultat que l’ouvrage propose lui aussi en exercice : la composée de la symétrie de centre $A$ puis de la symétrie de centre $B$ est la translation de vecteur $2\cdot\overrightarrow{AB}$ .

Les distances confirment le calcul. La première homothétie multiplie les distances par $|k|$ , la seconde par $|\ell|$ ; si $k\ell=1$ , la composée les conserve, comme toute translation.

Le calcul montre autre chose. Une transformation affine dont la partie linéaire est la multiplication par un réel $c$ non nul est une translation si $c=1$ , une homothétie de rapport $c$ sinon. En effet, si $O^{\prime}$ est l’image de l’origine, $\overrightarrow{O^{\prime}M^{\prime}}=c\cdot\overrightarrow{OM}$ pour tout $M$ ; pour $c=1$ , cela dit $\overrightarrow{MM^{\prime}}=\overrightarrow{OO^{\prime}}$ , et pour $c\neq 1$ , le point $G$ tel que $(1-c)\cdot\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OO^{\prime}}$ vérifie $\overrightarrow{GM^{\prime}}=c\cdot\overrightarrow{GM}$ . L’application $f$ des articles précédents, qui envoie $(x,y)$ sur $(2x+y+2,\;x+2y+2)$ , n’est donc ni l’une ni l’autre : sa partie linéaire envoie $(1,0)$ sur $(2,1)$ , qui n’est pas un multiple de $(1,0)$ .

Translations et homothéties sont ainsi les transformations affines qui multiplient tous les vecteurs par un même nombre. Une réflexion n’en fait pas partie : elle garde les vecteurs parallèles à son axe et retourne ceux qui lui sont perpendiculaires. Il faudra, pour la définir, autre chose qu’un vecteur ou un rapport ; ce sera une médiatrice.

Cet article suit le chapitre Applications affines du plan euclidien de Discours formel sur les mathématiques pour le secondaire, Volume I. L’ouvrage reparaîtra en décembre 2026 sous le titre Discours formel sur les mathématiques : une passerelle entre le secondaire et le supérieur, avec son Volume II, chacun accompagné d’un fascicule de corrigés des exercices. Le lemme de la section 3 y figure en exercice, et le théorème de Thalès est démontré dans la section Axiomatisation et développement de la géométrie du plan euclidien. La composée de deux homothéties de centres distincts, que l’ouvrage propose en exercice, est démontrée ici, et la caractérisation par la partie linéaire est ajoutée.

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Translations et homothéties : le facteur |k| se démontre

1. Deux applications définies par un vecteur

2. Ce que disent les vecteurs

3. Le premier pont : une seule droite

4. Pourquoi une translation conserve-t-elle les distances ?

5. L’homothétie multiplie les distances par |k|

6. Deux homothéties de centres différents

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1. Deux applications définies par un vecteur

2. Ce que disent les vecteurs

3. Le premier pont : une seule droite

4. Pourquoi une translation conserve-t-elle les distances ?

5. L’homothétie multiplie les distances par |k|

6. Deux homothéties de centres différents

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