Le raisonnement par récurrence est enseigné comme une technique : on vérifie l'initialisation, on suppose l'hérédité, on conclut. Présenté ainsi, il ressemble à une astuce de rédaction, et l'élève qui demande pourquoi ça marche reçoit rarement autre chose qu'une métaphore de dominos. La réponse honnête est plus courte et plus troublante : ça marche parce … Lire la suite de Construire ℕ : les axiomes de Peano et l’origine de la récurrence
Logique mathématique
Exercice : cinq raisonnements, une seule démonstration correcte
Quatre des cinq raisonnements qui suivent sont fautifs. Aucun ne l'est par erreur de calcul : dans chacun, les hypothèses sont vraies et la conclusion est parfois vraie aussi. Ce qui pèche, c'est le passage de l'une à l'autre — l'usage d'une règle de déduction qui n'existe pas, ou d'une règle qui existe mais dont … Lire la suite de Exercice : cinq raisonnements, une seule démonstration correcte
Les règles de déduction : l’anatomie du mot « donc »
Le mot le plus employé dans une copie de mathématiques est probablement « donc ». C'est aussi celui qu'on n'explique jamais. On corrige les calculs, on sanctionne les erreurs de signe, mais on laisse dans l'ombre la question centrale : à quelle condition a-t-on le droit d'écrire « donc » ? La logique du premier ordre répond avec une … Lire la suite de Les règles de déduction : l’anatomie du mot « donc »
Syntaxe et sémantique : ce qu’une formule dit, et ce qu’elle veut dire
Une formule mathématique est une suite de signes. Elle ne devient vraie ou fausse qu'une fois placée dans un monde qui donne un sens à ces signes. Cette distinction entre ce qui relève de l'écriture et ce qui relève du sens — entre la syntaxe et la sémantique — n'est presque jamais énoncée dans l'enseignement … Lire la suite de Syntaxe et sémantique : ce qu’une formule dit, et ce qu’elle veut dire
Disjonction exclusive
Dans les langages formels de la logique classique, des expressions peuvent être construites au moyen de la négation (¬) ou de connecteurs tels que la disjonction (∨), la conjonction (∧), l'implication (⇒) et l'équivalence (⇔). La sémantique de telles expressions est définie par les tables de vérité ci-dessous. Dans ce billet, nous présentons un autre … Lire la suite de Disjonction exclusive
Logique mathématique et enquête de police
"De deux choses l'une : soit le malfaiteur est venu en voiture, soit le témoin s'est trompé. Si le malfaiteur avait un complice, alors il est venu en voiture. Le malfaiteur n'avait pas de complice et il n'avait pas de clef de l’appartement, ou le malfaiteur avait un complice et il avait la clef de … Lire la suite de Logique mathématique et enquête de police
