Dans un exercice, on sait qu'un réel x est strictement positif et que son carré vaut 4. Une copie en tire la valeur de x en une ligne : « x² = 4 ⇒ x = 2 ». Le correcteur lit la flèche pour ce qu'elle est, une implication, et la juge fausse : le … Lire la suite de La flèche ⇒ n’est pas une abréviation de « donc »
Logique mathématique
Un symbole ne commence pas une phrase, deux formules ne se touchent pas
« f est continue. » Trois mots justes, et pourtant une phrase qu'on ne peut pas écrire correctement : en français, elle devrait commencer par une majuscule, et F n'est pas f. Une autre copie conclut : « Le PGCD de 15 et de 28 vaut 1, 15 et 28 sont donc premiers entre eux. … Lire la suite de Un symbole ne commence pas une phrase, deux formules ne se touchent pas
Une démonstration se lit à voix haute
« Soit n > 0 un nombre entier. » La phrase est courte, les symboles sont exacts, et presque tout le monde l'a écrite un jour. Lisez-la à voix haute, en prononçant chaque symbole : « soit n strictement supérieur à zéro un nombre entier ». Personne ne parle ainsi. Lisez de même « le … Lire la suite de Une démonstration se lit à voix haute
Écrire les mathématiques, c’est parler deux langues à la fois
Au milieu d'une démonstration, une copie porte cette ligne : « f cont. sur [a, b] ⇒ ∃ c f(c) = 0 ». La ligne est inventée, mais tout correcteur en a lu de semblables. Elle a l'air rigoureuse, avec sa flèche et son quantificateur. Lisez-la comme une phrase française : il lui manque un … Lire la suite de Écrire les mathématiques, c’est parler deux langues à la fois
Construire ℕ : les axiomes de Peano et l’origine de la récurrence
Le raisonnement par récurrence est enseigné comme une technique : on vérifie l'initialisation, on suppose l'hérédité, on conclut. Présenté ainsi, il ressemble à une astuce de rédaction, et l'élève qui demande pourquoi ça marche reçoit rarement autre chose qu'une métaphore de dominos. La réponse honnête est plus courte et plus troublante : ça marche parce … Lire la suite de Construire ℕ : les axiomes de Peano et l’origine de la récurrence
Exercice : cinq raisonnements, une seule démonstration correcte
Quatre des cinq raisonnements qui suivent sont fautifs. Aucun ne l'est par erreur de calcul : dans chacun, les hypothèses sont vraies et la conclusion est parfois vraie aussi. Ce qui pèche, c'est le passage de l'une à l'autre — l'usage d'une règle de déduction qui n'existe pas, ou d'une règle qui existe mais dont … Lire la suite de Exercice : cinq raisonnements, une seule démonstration correcte
Les règles de déduction : l’anatomie du mot « donc »
Le mot le plus employé dans une copie de mathématiques est probablement « donc ». C'est aussi celui qu'on n'explique jamais. On corrige les calculs, on sanctionne les erreurs de signe, mais on laisse dans l'ombre la question centrale : à quelle condition a-t-on le droit d'écrire « donc » ? La logique du premier ordre répond avec une … Lire la suite de Les règles de déduction : l’anatomie du mot « donc »
Syntaxe et sémantique : ce qu’une formule dit, et ce qu’elle veut dire
Une formule mathématique est une suite de signes. Elle ne devient vraie ou fausse qu'une fois placée dans un monde qui donne un sens à ces signes. Cette distinction entre ce qui relève de l'écriture et ce qui relève du sens — entre la syntaxe et la sémantique — n'est presque jamais énoncée dans l'enseignement … Lire la suite de Syntaxe et sémantique : ce qu’une formule dit, et ce qu’elle veut dire
Disjonction exclusive
Dans les langages formels de la logique classique, des expressions peuvent être construites au moyen de la négation (¬) ou de connecteurs tels que la disjonction (∨), la conjonction (∧), l'implication (⇒) et l'équivalence (⇔). La sémantique de telles expressions est définie par les tables de vérité ci-dessous. Dans ce billet, nous présentons un autre … Lire la suite de Disjonction exclusive
Logique mathématique et enquête de police
"De deux choses l'une : soit le malfaiteur est venu en voiture, soit le témoin s'est trompé. Si le malfaiteur avait un complice, alors il est venu en voiture. Le malfaiteur n'avait pas de complice et il n'avait pas de clef de l’appartement, ou le malfaiteur avait un complice et il avait la clef de … Lire la suite de Logique mathématique et enquête de police
