Exercice : cinq raisonnements, une seule démonstration correcte

Quatre des cinq raisonnements qui suivent sont fautifs. Aucun ne l’est par erreur de calcul : dans chacun, les hypothèses sont vraies et la conclusion est parfois vraie aussi. Ce qui pèche, c’est le passage de l’une à l’autre — l’usage d’une règle de déduction qui n’existe pas, ou d’une règle qui existe mais dont une condition d’emploi n’est pas remplie.

L’exercice consiste à trouver le raisonnement correct, et à nommer la faute des quatre autres. Les règles disponibles ont été recensées dans Les règles de déduction : l’anatomie du mot « donc » ; le vocabulaire de la syntaxe et de la sémantique vient de Syntaxe et sémantique. Le corrigé suit l’énoncé : arrêtez-vous avant si vous voulez chercher.

1. Énoncé

Raisonnement 1. Tout entier divisible par $6$ est pair. Or $2024$ est pair. Donc $2024$ est divisible par $6$ .

Raisonnement 2. Soit $f$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$ . Par définition, pour tout réel $x$ et tout $\varepsilon>0$ , il existe $\delta>0$ tel que $|x-y|<\delta$ entraîne $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$ . Il existe donc, pour tout $\varepsilon>0$ , un $\delta>0$ qui convient pour tous les $x$ à la fois. Donc toute fonction continue sur $\mathbb{R}$ y est uniformément continue.

Raisonnement 3. Soit $x$ un nombre réel vérifiant $x^{2}=1$ . Alors $(x-1)(x+1)=0$ , donc $x=1$ ou $x=-1$ . Le réel $x$ étant quelconque, on en déduit par généralisation que, pour tout réel $x$ , on a $x=1$ ou $x=-1$ .

Raisonnement 4. Montrons que $\sqrt{2}$ est irrationnel. Supposons $\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}$ , où $p$ et $q$ sont des entiers naturels non nuls premiers entre eux. Alors $p^{2}=2q^{2}$ , donc $p$ est pair, donc $p=2k$ et $q^{2}=2k^{2}$ , donc $q$ est pair. Ainsi $p$ et $q$ sont tous deux pairs : ils ne sont pas premiers entre eux. On conclut que $p$ et $q$ ne peuvent pas être choisis premiers entre eux.

Raisonnement 5. Montrons que, pour tout entier $n$ , si $n^{2}$ est impair alors $n$ est impair. Supposons $n$ pair et écrivons $n=2k$ . Alors $n^{2}=4k^{2}=2(2k^{2})$ est pair. Nous avons donc établi que « $n$ pair » entraîne « $n^{2}$ pair », c’est-à-dire la contraposée de l’énoncé proposé. Celui-ci est donc vrai.

2. Corrigé

Le raisonnement correct est le cinquième. Examinons les quatre autres.

Raisonnement 1 — affirmation du conséquent

Le schéma employé est : de $\varphi\Rightarrow\psi$ et de $\psi$ , conclure $\varphi$ . Ce n’est pas le modus ponens, qui part de $\varphi$ et conclut $\psi$ ; c’est sa lecture à rebours, et elle ne figure dans aucune liste de règles. La conclusion est d’ailleurs fausse : $2024=6\times 337+2$ .

C’est la faute que l’enseignement désigne par « confondre une proposition et sa réciproque ». La formulation est exacte mais incomplète : elle décrit le symptôme sans dire que l’élève a inventé une règle.

Raisonnement 2 — interversion de quantificateurs

L’hypothèse est de la forme $\forall x\,\exists \delta\; P(x,\delta)$ et la conclusion de la forme $\exists \delta\,\forall x\; P(x,\delta)$ . Le passage inverse est licite — de $\exists\delta\,\forall x$ on tire toujours $\forall x\,\exists\delta$ — mais celui-ci ne l’est pas.

La raison tient en un mot : dans l’hypothèse, $\delta$ dépend de $x$ . Le contre-exemple est classique : $f(x)=x^{2}$ est continue sur $\mathbb{R}$ sans y être uniformément continue, car

$\displaystyle \left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}-x^{2}=2+\frac{1}{x^{2}}>2$

alors que les deux points $x$ et $x+\dfrac{1}{x}$ sont aussi proches que l’on veut dès que $x$ est grand.

Raisonnement 3 — généralisation sur une variable contrainte

Ici la règle invoquée existe : c’est la généralisation, qui de $\varphi$ permet de déduire $\forall x\,\varphi$ . Mais elle est assortie d’une condition, et cette condition est violée : $x$ ne doit être libre dans aucune hypothèse utilisée. Or la démonstration repose entièrement sur l’hypothèse $x^{2}=1$ , où $x$ figure librement.

Le mot « quelconque » est le piège. Un $x$ soumis à une hypothèse n’est pas quelconque : il est quelconque parmi ceux qui la vérifient. Ce que l’on peut généraliser, c’est l’implication tout entière — pour tout réel $x$ , si $x^{2}=1$ alors $x=1$ ou $x=-1$ — et non son conséquent. C’est exactement le service que rend le théorème de la déduction : il décharge l’hypothèse, ce qui libère $x$ et autorise ensuite la généralisation.

Raisonnement 4 — absurde mal refermé

Tous les calculs sont justes, et la contradiction est bien obtenue. La faute est à la dernière ligne : on referme le raisonnement sur la mauvaise proposition. Ce qu’il fallait réfuter, c’est « $\sqrt{2}$ est rationnel » ; ce que l’on réfute, c’est un choix auxiliaire, celui d’une fraction irréductible.

Le raisonnement par l’absurde ne nie pas n’importe laquelle des hypothèses en présence : il nie celle que l’on a expressément ajoutée pour la circonstance. Ici, l’irréductibilité n’est pas une hypothèse supplémentaire mais une conséquence légitime de la première — tout rationnel admet une écriture irréductible. La contradiction remonte donc jusqu’à la seule hypothèse dont elle puisse remonter : $\sqrt{2}$ n’est pas rationnel.

La conclusion écrite est à la fois vraie et hors sujet, ce qui en fait la plus difficile des quatre fautes à repérer : une copie qui s’arrête là n’a rien démontré du tout.

Raisonnement 5 — contraposition, correcte

La contraposition est une règle dérivée légitime : $\varphi\Rightarrow\psi$ et $\neg\psi\Rightarrow\neg\varphi$ sont interdéductibles. La démonstration établit « $n$ pair $\Rightarrow$ $n^{2}$ pair », qui est bien la contraposée de « $n^{2}$ impair $\Rightarrow$ $n$ impair », un entier étant impair si et seulement s’il n’est pas pair. Rien ne manque.

Notons au passage que la généralisation, ici, est licite : l’hypothèse de travail porte sur « $n$ pair », elle est déchargée par le théorème de la déduction avant que l’on ne quantifie sur $n$ . C’est la différence exacte avec le raisonnement 3.

3. Ce que l’exercice met en évidence

Les quatre fautes se répartissent en deux familles. Les raisonnements 1 et 2 emploient des règles inexistantes ; les raisonnements 3 et 4 emploient des règles existantes hors de leurs conditions d’emploi. La seconde famille est de loin la plus coûteuse en correction, parce qu’elle est invisible à la lecture rapide : la copie a l’air d’une démonstration.

Un enseignement qui présente les règles sans leurs conditions ne prépare qu’à éviter la première famille. La condition sur les variables libres de la généralisation, et l’identification de l’hypothèse que l’absurde réfute, ne sont pas des raffinements de logiciens : ce sont les deux endroits où une démonstration d’apparence honnête cesse d’en être une.

Les règles de déduction, leurs conditions d’emploi et le théorème de la déduction sont exposés au chapitre 2 du Discours formel sur les mathématiques pour le secondaire.

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