Sept des dix ensembles proposés sont dénombrables, trois ne le sont pas, et l'intuition se trompe précisément là où on l'attend : les polynômes entiers et les nombres algébriques, qui semblent innombrables, s'énumèrent sans peine ; les suites de zéros et de uns, qui semblent modestes, ne s'énumèrent pas. Le corrigé traite les dix cas, … Lire la suite de Corrigé, et l’hypothèse du continu

Deux techniques, et deux seulement, ont été mises en place : construire une énumération pour prouver qu'un ensemble est dénombrable, et construire un objet manquant pour prouver qu'il ne l'est pas. Les dix ensembles qui suivent se répartissent entre les deux camps, et l'intérêt de l'exercice tient à ce que l'intuition se trompe au moins … Lire la suite de Exercice : dénombrable ou non ?

On a su énumérer les rationnels, qui sont pourtant partout denses sur la droite : entre deux d'entre eux il y en a toujours un troisième, et cela ne les a pas empêchés de tenir dans une suite. L'expérience suggère qu'avec assez d'astuce, on énumérerait aussi les réels. Cantor a montré en 1874 qu'il n'en … Lire la suite de L’argument diagonal : ℝ n’est pas dénombrable

L'ensemble des entiers naturels est contenu dans l'ensemble des entiers relatifs, qui lui-même est contenu dans l'ensemble des rationnels, et chaque inclusion est stricte : il manque les négatifs au premier, les fractions au second. L'intuition en conclut qu'il y a de plus en plus d'éléments. Elle se trompe trois fois. Ces trois ensembles ont … Lire la suite de Dénombrable : ℕ, ℤ et ℚ ont le même nombre d’éléments

Deux des cinq relations proposées sont des équivalences, une est un ordre, et les deux qui échouent le font pour des raisons opposées : l'une perd la transitivité, l'autre la symétrie. Le corrigé les traite dans l'ordre, puis démonte la démonstration fausse — dont l'erreur tient à quatre mots — et termine sur la notion … Lire la suite de Corrigé, et les relations d’ordre

Vérifier qu'une relation est une équivalence passe pour une formalité : on récite trois propriétés, on coche trois cases. L'exercice qui suit propose cinq relations dont deux seulement sont des équivalences, une est une relation d'ordre, et deux échouent chacune sur une propriété différente. Il se termine sur une démonstration fausse que l'on rencontre régulièrement … Lire la suite de Exercice : cinq relations, lesquelles sont des équivalences ?

Une fraction n'est pas un nombre écrit avec une barre : trois sixièmes et un demi sont le même objet, et personne n'explique jamais pourquoi on a le droit de les confondre. Un vecteur n'est pas une flèche : deux flèches de même direction, même sens et même longueur sont le même vecteur, et là … Lire la suite de Relations d’équivalence et passage au quotient

On écrit couramment l'ensemble des solutions d'une équation comme l'ensemble des antécédents de zéro, et on emploie pour cela le symbole « f puissance moins un ». Le même symbole désigne pourtant aussi la bijection réciproque — qui n'existe que si la fonction est bijective, ce que celle de l'équation n'est presque jamais. Deux objets, … Lire la suite de Image directe, image réciproque : l’asymétrie qui mérite d’être expliquée

Un manuel de seconde définit une fonction comme un procédé qui, à un nombre, en associe un autre. Un manuel de terminale parle d'application sans avoir jamais dit en quoi elle diffère d'une fonction. Un cours de licence emploie les deux mots comme des synonymes, et un autre les oppose. L'élève n'y voit pas une … Lire la suite de Fonction, application, correspondance : trois mots, une notion

Le sigle ZF traverse tous les cours du supérieur, cité comme on cite une autorité lointaine : « on se place dans ZF », « c'est indépendant de ZF ». Rares sont les étudiants qui ont vu la liste en entier, et plus rares encore ceux à qui l'on a dit ce que chaque axiome … Lire la suite de Les axiomes de Zermelo-Fraenkel, sans mystique