Un manuel de seconde définit une fonction comme un procédé qui, à un nombre, en associe un autre. Un manuel de terminale parle d’application sans avoir jamais dit en quoi elle diffère d’une fonction. Un cours de licence emploie les deux mots comme des synonymes, et un autre les oppose. L’élève n’y voit pas une subtilité : il y voit du bruit. Le désaccord porte pourtant sur une seule condition, et il disparaît entièrement dès qu’on accepte de dire ce qu’une fonction est, au lieu de dire ce qu’elle fait.

L’article poursuit la série Aux fondations. Il utilise les axiomes recensés dans un article précédent, en particulier la paire, les parties et la compréhension, et il prolonge une remarque faite à propos des suites numériques : une suite est une application, et cela change tout.

1. Où le vocabulaire flotte et pourquoi

La tradition française distingue : une fonction de vers peut n’être définie que sur une partie de , une application est définie partout. La littérature anglo-saxonne identifie les deux mots et parle de fonction partielle quand il le faut. Aucune des deux n’a tort ; ce qui est fautif, c’est d’employer les deux conventions dans le même cursus sans prévenir.

Le coût de ce flottement est visible dans une phrase que tout correcteur connaît : « cherchons l’ensemble de définition de la fonction ». Elle suggère que cet ensemble préexiste et qu’on le découvre, comme on chercherait une clé perdue. En réalité, on cherche la partie de sur laquelle l’expression proposée a un sens, ce qui est une question de syntaxe, non de fonction. Tant qu’une fonction reste un procédé, la question demeure trouble. Dès qu’elle devient un objet, elle se dissipe.

2. Le couple et l’unique théorème qui le concerne

Tout part d’une difficulté matérielle : un ensemble ne connaît pas l’ordre, puisque . Il faut donc fabriquer, avec des ensembles, un objet qui distingue une première et une seconde place. L’axiome de la paire, appliqué deux fois, y suffit :

Les ensembles et sont appelés première et seconde composantes. Tout couple est une paire, mais le couple diffère de la paire : l’anglais dit d’ailleurs ordered pair. Et cet objet fait exactement ce qu’on attend d’un couple, ni plus ni moins.

Propriété caractéristique. si et seulement si et .

Preuve. Le sens réciproque est immédiat. Supposons et raisonnons par disjonction des cas, le tiers exclu donnant ou .

Premier cas : . Alors et le membre de gauche se réduit à , qui n’a qu’un élément. Le membre de droite n’en a donc qu’un aussi : , d’où puis .

Second cas : . Le membre de gauche a alors deux éléments distincts, et . Comme appartient au membre de droite, ou bien , ou bien . La seconde possibilité donnerait , donc un membre de droite réduit à , à un seul élément : exclu. Donc . Il reste ; comme appartient à et que , on conclut .

Une remarque de méthode, qui vaut bien au-delà de ce cas. Ce codage est arbitraire : Wiener en avait proposé un autre dès 1914, Kuratowski a imposé celui-ci en 1921, et l’on pourrait en inventer d’autres encore. Ce qui compte n’est pas la forme choisie, mais la propriété caractéristique, seule invoquée dans la suite des mathématiques. Une fois cette propriété établie, il est légitime — et recommandé — d’oublier la définition et de ne plus jamais écrire une double accolade.

3. Le produit cartésien est un ensemble, et il faut le démontrer

On voudrait poser , mais l’écriture est justement celle que le paradoxe de Russell a rendue illégitime : une propriété sans ensemble de référence. Il faut donc exhiber un ensemble dans lequel découper. Si et , alors et sont des parties de , c’est-à-dire des éléments de ; le couple est donc une partie de , autrement dit un élément de . La compréhension achève le travail :

Quatre axiomes ont servi : la paire, la réunion, les parties deux fois, la compréhension. Ce détour n’a aucun intérêt calculatoire — personne ne s’en servira jamais pour manipuler un produit cartésien —, mais il répond à la seule question qui compte : de quel droit écrit-on cet objet ?

4. Une relation binaire est un ensemble de couples

Définition. Une relation binaire de vers est un sous-ensemble de . Les ensembles et sont appelés respectivement ensemble de départ et ensemble d’arrivée, et l’on écrit pour .

Deux ensembles se déduisent aussitôt de , tous deux par compréhension : le domaine de définition , formé des éléments de départ ayant au moins une image, et l’ensemble des images , formé des éléments d’arrivée ayant au moins un antécédent.

Un point mérite qu’on s’y arrête, car il est source de confusion durable. L’objet est un ensemble de couples, et rien de plus : il ne porte pas son ensemble d’arrivée. C’est la locution « de vers » qui le nomme. Aussi la surjectivité n’est-elle jamais une propriété de seul, mais de et de l’ensemble d’arrivée qu’on lui a assigné : le même ensemble de couples, celui de , n’est pas surjectif vu de vers et l’est vu de vers . Rien n’a changé dans l’objet ; la phrase qui l’introduit, elle, a changé.

5. Deux conditions, trois mots

Sur une relation binaire de vers , on peut poser deux conditions indépendantes : que chaque élément de ait au plus une image, ou qu’il en ait au moins une. Les trois mots du titre s’obtiennent en combinant ces conditions, et rien d’autre ne les distingue.

• Une fonction est une relation binaire où chaque élément de départ a au plus une image. On écrit alors , et les éléments hors de n’ont pas d’image.
• Une application est une relation binaire où chaque élément de départ a exactement une image — c’est-à-dire une fonction dont le domaine de définition est l’ensemble de départ tout entier.
• Une correspondance demande la même chose qu’une application — une image et une seule —, mais elle est définie un cran plus tôt, entre des collections et non entre des ensembles.

Ce troisième terme n’est pas un synonyme décoratif, et sa place dans l’ouvrage est une leçon d’architecture. La correspondance est définie au chapitre de logique, avant que la théorie des ensembles ne commence, parce que l’axiome de remplacement en a besoin pour être énoncé : il affirme que l’image d’un ensemble par une correspondance est un ensemble. Si la correspondance avait été définie comme une application, donc à l’aide d’ensembles et de produits cartésiens, l’axiome aurait supposé acquis ce qu’il sert à établir. L’ordre des définitions n’est pas une question de goût : il est ce qui évite le cercle.

On notera enfin que la notation n’est légitimée que par la condition d’unicité : sans elle, ne désignerait rien. L’usage universel de cette écriture masque complètement qu’elle repose sur une hypothèse ; c’est pourtant la première chose à vérifier lorsqu’on « définit » une fonction par une construction, et le lieu exact de l’erreur quand on définit une opération sur des classes d’équivalence.

6. Ce que l’on gagne à traiter une fonction comme un objet

L’égalité de deux fonctions devient décidable. Deux relations binaires sont égales lorsqu’elles ont les mêmes couples — c’est l’extensionalité, appliquée à des ensembles de couples. La question « ces deux formules définissent-elles la même fonction ? » reçoit alors une réponse nette, alors qu’elle n’en avait aucune tant qu’une fonction était un procédé : deux procédés distincts peuvent parfaitement produire les mêmes valeurs.

La « courbe représentative » cesse d’être une image. Ce que le lycée appelle la courbe de est l’ensemble des couples lui-même, vu dans le plan. Ce n’est pas une illustration de la fonction : c’est la fonction.

Une fonction n’a pas besoin de formule. C’est le gain le plus important, et le plus contre-intuitif. Rien dans la définition n’exige que l’ensemble de couples soit décrit par une expression : il suffit qu’il soit une partie de vérifiant l’unicité. L’argument de dénombrement rend la chose brutale — les expressions qu’on peut écrire dans un langage fini sont en quantité dénombrable, alors que les applications de dans sont bien plus nombreuses. Presque aucune fonction n’admet de formule, et celles que l’on rencontre en classe sont les rares exceptions. L’argument diagonal qui établit ces comparaisons de cardinaux fait l’objet de « L’argument diagonal : ℝ n’est pas dénombrable », à paraître le 20 septembre.

7. Ce que la suite du fil en fera

Une suite réelle est une application de dans , ce qui n’est pas une reformulation savante mais la seule définition qui rende licite d’écrire : la notation indicielle est celle de l’image, et l’unicité la justifie. De même, une opération sur un ensemble est une application de dans — les structures algébriques ne sont donc rien d’autre que des ensembles munis d’applications particulières, ce que le chapitre suivant de l’ouvrage exploite immédiatement.

Le prochain article du fil, « Image directe, image réciproque : l’asymétrie que personne n’explique », à paraître le 5 septembre, exploitera ce point de vue : l’image réciproque respecte l’union, l’intersection et le complémentaire, l’image directe ne respecte que l’union, et ce déséquilibre se lit directement sur les deux conditions du paragraphe 5.

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Le couple et le produit cartésien sont construits à la section 3.1 de Discours formel sur les mathématiques pour le secondaire, Volume I, parmi les conséquences des axiomes ; les relations binaires, les fonctions et les applications occupent la section 3.2 du même chapitre, et la correspondance est définie plus tôt, au chapitre 2.