Une suite est une application, et cela change tout

/ Christian Nguembou Tagne

« Soit la suite un = 1/(n + 1). » La phrase ouvre des milliers d’exercices, et elle est inexacte à au moins deux titres. D’abord, un n’est pas une suite : c’est un nombre réel, celui que la suite associe à l’entier n. Ensuite, l’égalité ne définit rien tant que l’on n’a pas dit pour quels entiers n elle vaut. Le programme scolaire porte pourtant la définition juste, en une ligne, à la première page du chapitre : une suite réelle est une application de ℕ dans ℝ. C’est la ligne que l’on saute. Elle décide de tout ce qui suit.

Cet article ouvre le fil Tout tient à la limite, consacré à l’analyse du programme de terminale. Il suppose connu l’ensemble ℝ, dont la construction par les suites de Cauchy a été exposée la veille, et il s’appuie sur l’axiome de récurrence, fondé dans Construire ℕ : les axiomes de Peano et l’origine de la récurrence. Le prochain article du fil, « Tend vers » : ce que disent ε et N, s’attaque à l’ordre des quantificateurs.

1. Ce que l’on écrit, et ce que l’on croit écrire

Commençons par l’énoncé exact, celui dont tout le reste découle.

Définition. Une suite réelle est une application de \mathbb{N} dans \mathbb{R}. Si u est une telle application, on note u_n l’image de l’entier n, c’est-à-dire u_n=u(n), et l’on note la suite elle-même (u_n)_{n\in\mathbb{N}}.

\displaystyle u\colon\ \mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{R},\qquad n\longmapsto u(n)=u_n

Deux objets distincts portent donc des noms voisins. D’un côté u, ou (u_n)_{n\in\mathbb{N}} : une application, un objet unique, qui contient toute l’information. De l’autre u_n : un nombre réel, celui qui correspond à un entier n fixé. Écrire « la suite u_n » revient à désigner une fonction par l’une de ses images (le résultat d’un calcul). Personne n’écrit « la fonction f(3) » ; on écrit pourtant « la suite u_n » sans y penser.

Cette confusion n’est pas anodine. Elle empêche de poser correctement toutes les questions qui suivent, car la convergence, la monotonie, la majoration ne sont pas des propriétés d’un terme : ce sont des propriétés de toute l’application.

2. Pourquoi un indice plutôt qu’une parenthèse

Si une suite est une application, pourquoi n’écrit-on pas u(n) comme pour toute autre application ? La réponse est principalement typographique, et il vaut mieux le savoir que l’imaginer. La notation indicielle est une convention, adoptée pour deux raisons.

La première est de signaler que la variable parcourt \mathbb{N} et non \mathbb{R}. On ne dérive pas une suite, on ne l’évalue pas en 1{,}5 ; l’indice le rappelle. La seconde est de libérer les parenthèses pour les compositions et les opérations : f(u_n) se lit sans effort, là où f(u(n)) empile les niveaux.

Rien de plus. u_n et u(n) désignent le même nombre, et l’on peut passer de l’une à l’autre écriture à volonté. Il n’existe pas de « théorie des suites » séparée de la théorie des applications : il existe une théorie des applications, dont les suites sont le cas où l’ensemble de départ est \mathbb{N}.

3. Définir par récurrence est un théorème

Voici le premier endroit où la définition paie. On écrit couramment : « soit la suite définie par u_0=1 et u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+3 », et l’on ajoute que les termes se calculent « de proche en proche ». Cette formule est une image, pas une justification. Elle affirme qu’un objet infini existe parce qu’on saurait en calculer les premiers termes.

Or ce qu’il faut établir est précisément qu’une application existe, et qu’il n’y en a qu’une. C’est un théorème, dû à Dedekind, et sa démonstration n’est pas un ornement.

Théorème (définition par récurrence). Soient a\in\mathbb{R} et f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}. Il existe une application u\colon\mathbb{N}\to\mathbb{R} et une seule telle que u_0=a et u_{n+1}=f(u_n) pour tout entier n.

Unicité. Soient u et v deux applications convenant. Posons E=\{n\in\mathbb{N}\ :\ u_n=v_n\}. On a 0\in E puisque u_0=a=v_0. Et si n\in E, alors u_{n+1}=f(u_n)=f(v_n)=v_{n+1}, donc n+1\in E. La partie E contient 0 et est stable par passage au successeur : l’axiome de récurrence donne E=\mathbb{N}, c’est-à-dire u=v.

Existence. Pour chaque entier n, appelons approximation d’ordre n toute application w de \{0,1,\dots,n\} dans \mathbb{R} vérifiant w(0)=a et w(k+1)=f(w(k)) pour tout k<n. Une récurrence sur n montre qu’il en existe une : l’application 0\mapsto a convient pour n=0, et si w est une approximation d’ordre n, on la prolonge en posant w(n+1)=f(w(n)). Le même argument qu’en unicité montre que deux approximations coïncident sur l’intersection de leurs domaines. La réunion de leurs graphes est donc encore un graphe fonctionnel, défini sur \mathbb{N} tout entier, et l’application qu’il définit convient. \quad\Box

Deux remarques. La première : l’axiome de récurrence intervient deux fois, et c’est lui, et lui seul, qui fait tenir l’ensemble. La seconde : sans la définition d’une suite comme application, l’énoncé du théorème ne pourrait même pas être formulé, puisqu’on ne saurait pas dire de quel objet on affirme l’existence.

4. Le domaine fait partie de l’application

Une application n’est pas une formule : c’est un ensemble de départ, un ensemble d’arrivée, et une règle qui associe à chaque élément du premier un unique élément du second. Deux applications sont égales lorsque ces trois données coïncident. La formule seule ne suffit jamais.

D’où une conséquence immédiate, que l’on rencontre dès le premier exercice. L’écriture u_n=\frac{1}{n-3} ne définit aucune suite sur \mathbb{N}, puisque 3 n’a pas d’image. Elle définit une application sur \mathbb{N}\setminus\{3\}, ce qui n’est pas la même chose, ou bien, si l’on préfère rester dans le cadre des suites, sur l’ensemble \{n\in\mathbb{N}\ :\ n\geq 4\}. On parle alors de suite définie à partir du rang 4, et l’on écrit (u_n)_{n\geq 4}. Ce n’est pas une nuance de rédaction : c’est le domaine de l’application, donc l’application elle-même.

La même exigence règle une question que les élèves posent souvent : les suites (u_n)_{n\in\mathbb{N}} et (u_n)_{n\geq 1} sont-elles la même suite ? Non. Ce sont deux applications de domaines différents. Elles ont en revanche même comportement asymptotique, et c’est un théorème, pas une évidence : modifier ou retirer un nombre fini de termes ne change ni la convergence ni la limite.

5. Une sous-suite est une composition

L’enseignement présente d’ordinaire une sous-suite comme le résultat d’une opération concrète : « on ne garde que certains termes, en respectant l’ordre ». C’est juste, et c’est inutilisable dans une démonstration. Dès lors qu’une suite est une application, l’énoncé exact s’écrit tout seul.

Définition. Une suite extraite de u est une application de la forme u\circ\varphi, où \varphi\colon\mathbb{N}\to\mathbb{N} est strictement croissante.

On retrouve la notation usuelle en posant \varphi(n)=\varphi_n, ce qui donne la suite (u_{\varphi(n)})_{n\in\mathbb{N}}, par exemple (u_{2n}) pour \varphi(n)=2n. Et cette écriture a un rendement immédiat : elle permet de démontrer le lemme que l’on utilise sans cesse et que l’on n’énonce jamais.

Lemme. Si \varphi\colon\mathbb{N}\to\mathbb{N} est strictement croissante, alors \varphi(n)\geq n pour tout entier n.

Démonstration. Par récurrence. Pour n=0, l’inégalité \varphi(0)\geq 0 est vraie car \varphi(0) est un entier naturel. Supposons \varphi(n)\geq n. La stricte croissance donne \varphi(n+1)>\varphi(n)\geq n, donc \varphi(n+1)>n ; comme il s’agit d’entiers, \varphi(n+1)\geq n+1. \quad\Box

Ce lemme est ce qui autorise à écrire, dans une démonstration de convergence, « pour n\geq N on a aussi \varphi(n)\geq N ». Sans lui, la moitié des preuves sur les suites extraites tombent. Et il n’est démontrable que parce que \varphi a été introduite comme une application, avec un domaine et une propriété de croissance, et non comme une manière de « choisir des termes ».

6. « Quand n est grand » ne veut rien dire

Reste la phrase que l’on entend le plus, et qui résume à elle seule ce que la définition interdit : « la suite tend vers l’infini quand n est grand ». Elle est fautive de trois manières.

D’abord, n est une variable muette. Elle ne désigne rien tant qu’elle n’est pas quantifiée, et « n est grand » n’est donc pas une proposition : cela n’a ni valeur de vérité ni négation. Ensuite, tendre vers l’infini n’est pas une propriété d’un terme mais de l’application entière ; aucun u_n ne tend vers quoi que ce soit. Enfin, l’expression laisse croire que +\infty serait une valeur atteinte, alors qu’il n’appartient pas à \mathbb{R} et n’est image d’aucun entier.

L’énoncé correct porte sur l’application, et il se lit sur les quantificateurs :

\displaystyle \forall A>0,\ \exists N\in\mathbb{N},\ \forall n\geq N,\quad u_n>A

Tout est ici dans l’ordre des trois quantificateurs, et c’est le sujet du prochain article de ce fil. On peut cependant relever dès maintenant ce que la définition d’une suite comme application vient de rendre disponible d’un seul coup. L’ensemble des applications de \mathbb{N} dans \mathbb{R}, noté \mathbb{R}^{\mathbb{N}}, est muni d’une addition et d’une multiplication définies terme à terme ; c’est un anneau commutatif, et c’est le cas particulier X=\mathbb{N} du résultat démontré sur ce blog pour un ensemble non vide quelconque. La somme et le produit de deux suites, la suite nulle, l’opposée d’une suite : rien de tout cela n’a besoin d’être redéfini pour les suites. C’est déjà fait, et c’est fait une fois pour toutes.

Une définition sautée coûte ainsi trois choses : un théorème d’existence que l’on prend pour une évidence, un lemme sur les extractions que l’on utilise sans l’avoir, et une structure algébrique que l’on reconstruit à la main. Le prochain article de ce fil s’attaquera à la définition de la limite, et à ce que disent exactement \varepsilon et N.

La théorie des applications et la construction de ℕ, sur lesquelles repose tout cet article, sont exposées dans le Discours formel sur les mathématiques pour le secondaire, Volume I. Les suites numériques elles-mêmes feront l’objet du Volume II, en préparation.

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