Trois obstacles à la dérivabilité, et un quatrième défaut qui n'en est pas un : la dernière fonction est bien dérivable partout, mais sa dérivée n'est continue nulle part au voisinage de l'origine. Le corrigé se termine sur le théorème qui met la dérivée au travail, et sur l'énumération de ce qu'il faut lui accorder … Lire la suite de Corrigé, et le théorème de Rolle

Les quatre fonctions qui suivent sont toutes continues au point étudié. Trois d'entre elles n'y sont pourtant pas dérivables, chacune pour une raison qui lui est propre ; la quatrième l'est, et son défaut se cache un cran plus loin. La continuité ne peut donc rien expliquer de ce qui les sépare : c'est ailleurs … Lire la suite de Exercice : quatre fonctions, quatre défauts de dérivabilité

L'implication se démontre en trois lignes et tout le monde l'admet. C'est la réciproque qui réserve la surprise, et elle est bien pire que ne le laisse croire le contre-exemple habituel : il existe des fonctions continues en tout point et dérivables en aucun. La courbe se trace d'un trait sans jamais admettre de tangente, … Lire la suite de Dérivable entraîne continue, et la réciproque est fausse

On enseigne que le nombre dérivé est la pente de la tangente, et l'on illustre par une sécante qui bascule jusqu'à se coucher sur la courbe. L'image est juste, et l'ordre est inversé. Personne n'a défini la tangente avant ce dessin ; c'est la dérivée qui la définit, et non l'inverse. Ce renversement n'est pas … Lire la suite de Le nombre dérivé est une limite, pas une pente

Un seul des quatre défauts de continuité se répare, celui de la deuxième fonction. Les trois autres tiennent, et pour des raisons qu'il faut distinguer si l'on veut comprendre ce que la continuité exige. Ce corrigé se termine sur le théorème qui donne à cette notion tout son intérêt — et sur la propriété de … Lire la suite de Corrigé, et le théorème des valeurs intermédiaires

« La fonction n'est pas continue en ce point. » Cette phrase seule ne dit pas tout : elle ne précise pas ce qui empêche la continuité. Or il y a plusieurs manières d'échouer, et savoir laquelle est à l'œuvre change ce que l'on peut réparer. Les quatre fonctions qui suivent échouent chacune à sa … Lire la suite de Exercice : quatre fonctions, quatre défauts de continuité

« Une fonction est continue si l'on peut tracer sa courbe sans lever le crayon. » La phrase circule depuis le lycée jusqu'aux copies de licence, et elle ne définit rien : elle décrit un geste de la main, pas une propriété mathématique. Elle est du reste inutilisable dès que la courbe n'est pas traçable … Lire la suite de La continuité en un point : trois définitions pour une notion

L'article précédent de cette série s'achevait sur un théorème qui affirme qu'une limite existe sans en livrer la moindre décimale. Voici son complément opératoire : deux suites qui se referment l'une sur l'autre encadrent leur limite commune à chaque étape, et fournissent donc une valeur approchée assortie d'une majoration de l'erreur. C'est le passage de … Lire la suite de Suites adjacentes et segments emboîtés

Voici le premier théorème du programme qui affirme qu'un objet existe sans donner le moindre moyen de le calculer. Il dit qu'une suite croissante et majorée converge ; il ne dit pas vers quoi. L'élève qui demande « oui, mais quelle est la limite ? » pose la bonne question, et la réponse honnête est … Lire la suite de Toute suite croissante et majorée converge — mais vers quoi ?

La suite qui converge est la troisième, celle dont le terme général est la différence des racines carrées de deux entiers consécutifs, et sa limite est nulle. Les quatre autres échouent pour quatre raisons distinctes, et c'est cette diversité qui intéresse : diverger est un terme générique pour des réalités diverses. Le corrigé se termine … Lire la suite de Corrigé, et l’unicité de la limite